Aproximarea numerelor naturale

În continuare vom discuta despre aproximarea numerelor naturale.

Ce spuneți? Folosim aproximările numerelor în viața de zi cu zi?

Sigur, atunci când nu e necesar să știm sau poate pur și simplu nu ne amintim toate cifrele unui număr,

folosim aproximarea numărului, adică, de fapt, facem referile la ordinul său de mărime.

De exemplu, dacă la un match de tenis avem 1821 de spectatori,

vom spune că au fost în jur de 1800 de spectatori.

E mult mai ușor să reținem acest număr 1800 decât 1821.

Sau, un alt exemplu, la un maraton avem 291 de maratoniști.

Păi putem spune că, de fapt, sunt în jur de 300 de maratoniști.

Ei bine, aproximările, să știți că, sunt de mai multe tipuri.

Și avem așa, aproximări prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire.

Și să știți că putem să facem aproximări la diferite ordine de mărime.

Și noi vom discuta despre aproximări la ordinul zecilor, sutelor și miilor.

Iar aici vom trece numărul pe care îl vom aproxima.

Și ne ocupăm mai întâi de aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor.

Păi haide să vedem definiția.

Aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor este cel mai mare număr natural,

format doar din zeci, mai mic sau egal cu numărul respectiv.

Păi sunt destul de multe informații în această definiție.

Haideți să începem cu un exemplu concret și apoi vom discuta,

vom diseca și definiția ca să înțelegem mai bine.

Să considerăm numărul 1821.

Concret, ca să obțineți aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor,

ultima cifră a numărului o vom înlocui cu zero.

Și avem 1820.

Și după cum citim numărul 1820, e clar că am obținut un număr.

Haideți să scriem aici.

Format doar din zeci.

El este mai mic sau egal cu numărul 1821.

Deci 1820 este strict mai mic, de fapt, decât 1821.

Acum, de ce apare aici sintagma cel mai mare număr cu aceste două proprietăți?

Păi haideți să ne gândim puțin.

Mai știm și alte numere care sunt formate doar din zeci și sunt strict mai mici ca 1821?

Sigur, avem așa, 1820, 1810, 1800, 1790 și așa mai departe. Bun.

Însă când noi folosim cuvântul de aproximare, înseamnă că ne referim la o apropiere.

Cu alte cuvinte, dintre toate aceste numere, cel mai apropiat de 1821 care e?

Este 1820.

Și ce observăm?

1820 este, de fapt, cel mai mare număr dintre acestea.

Din această cauze, e nevoie ca, în definiție, să apară sintagma de cel mai mare număr cu aceste două proprietăți.

Bun.

Acum să nu ne încurce că la aproximarea prin lipsă apare sintagma de cel mai mare număr.

Da?

Am înțeles despre ce e vorba.

Am obținut numărul 1820.

Să facem acum aproximarea prin lipsă la ordinul sutelor.

Păi aproximarea prin lipsă la ordinul sutelor este cel mai mare număr natural format doar din sute mai mic sau egal cu numărul respectiv.

Păi cum vom proceda?

De fapt, ultimele două cifre ale numărului le vom înlocui cu 0.

Și avem 1800.

Și după cum îl citim 1800, realizăm că e un număr format doar din sute.

El este mai mic sau egal cu 1821.

Și, de fapt, 1800 este cel mai apropiat număr de 1821 cu aceste două proprietăți.

Bun.

Pentru aproximarea prin lipsă la ordinul miilor, trebuie să găsim cel mai mare număr natural format doar din mii mai mic sau egal cu numărul 1821.

Cum procedăm?

Păi ultimele trei cifre ale numărului le vom înlocui cu 0.

Și avem numărul 1000.

1000 este, de fapt, aproximarea prin lipsă al numărului 1821.

Vorbim de aproximare prin lipsă la ordinul miilor.

În continuare, avem aici aproximarea prin adaos.

Păi ce presupune aproximarea prin adaos la ordinul zecilor?

Iată că acum vorbim de cel mai mic număr natural format doar din zeci.

Stric mai mare decât numărul respectiv.

Păi haideți să ne gândim puțin.

Trebuie să găsim un număr.

Deci pornim de la 1821.

Trebuie să găsim un număr care este format doar din zeci.

Și este stric mai mare decât 1821.

Păi avem așa.

Avem 1830, 1840, 1850 și așa mai departe.

Toate aceste numere sunt formate doar din zeci și sunt stric mai mari decât 1821.

Pe care îl alegem?

Păi care este cel mai apropiat de 1821?

1830.

Și iată că el este de fapt cel mai mic număr dintre acestea.

De aceea în definiție apare sintagma de cel mai mic număr.

Deci venim aici și scriem.

Avem numărul 1830.

Este aproximarea prin adaos la ordinul zecilor a acestui număr.

Acum ca să ne fie mai ușor să știți că întotdeauna pentru aproximările prin adaos

puteți să porniți de la aproximările prin lipsă. Astfel.

Când vorbim de o aproximare prin adaos la ordinul zecilor,

e bine cifra zecilor, adică 2, o vom mări cu o unitate pentru a obține aproximarea prin adaos.

Și obținem 1830.

Bun.

Acum aproximarea prin lipsă, pardon, prin adaos la ordinul sutelor.

Păi la fel.

Este cel mai mic număr natural format doar din sute stric mai mare decât numărul respectiv.

Cum procedăm?

Pornim de la aproximarea prin lipsă.

Iar cifra sutelor, care aici este 8, o mărim cu o unitate.

Deci avem 1900.

Este aproximarea prin adaos la ordinul sutelor.

La ordinul miilor avem aceeași definiție.

Găsim cel mai mic număr natural format doar din mii stric mai mare decât numărul respectiv.

Păi haide să completăm.

Ce vom face?

Pornim de la aproximarea prin lipsă.

Avem aici numărul 1000.

Cum aproximăm prin adaos la ordinul miilor?

Cifra miilor, adică 1, o mărim cu o unitate și obținem 2000.

Ei bine, acest număr este aproximarea prin adaos la ordinul miilor.

Nu ne mai rămâne acum să discutăm decât de aproximările prin rotunjire.

Rotunjirea unui număr natural la ordinul zecilor sutelor miilor înseamnă de fapt aproximarea prin lipsă sau prin adaos cea mai apropiată de numărul respectiv.

Cu alte cuvinte, ca să facem aproximarea prin rotunjire, trebuie de fapt să alegem între aproximarea prin lipsă sau prin adaos,

ghidându-ne după care dintre aceste două numere este mai apropiat de 1821.

Păi întotdeauna putem să reținem că un număr, cum e în cazul nostru acesta, este întotdeauna cuprins între aproximările sale prin lipsă și prin adaos.

Astfel, un număr este întotdeauna mai mare sau egal decât aproximarea sa prin lipsă.

Aici este strict mai mare decât aproximarea prin lipsă și este întotdeauna strict mai mic decât aproximarea sa prin adaos, care aici este 1830.

Acum, dintre aceste două aproximări, dintre aceste două numere de fapt, care este cel mai apropiat de 1821?

E foarte ușor de păzut dacă facem diferența aici dintre 1821 și 1820 ne dă 1 și diferența dintre 1830 și 1821 ne dă 9.

Este clar că acest număr este mai apropiat de 1821.

Ei, acest număr reprezintă aproximarea prin rotunjire, deci venim aici și scriem 1820.

Facem acum aproximarea prin rotunjire la ordinul sutelor.

Păi, numărul nostru, cum am spus, este de fapt mai mare sau egal?

În această situație particulară este strict mai mare decât aproximarea prin lipsă, care este 1800, și întotdeauna numărul este strict mai mic decât aproximarea prin adaos, 1900.

E foarte ușor de păzut că dintre aceste două numere, cel mai apropiat de 1821 este 1800.

Deci venim aici și scriem aproximarea prin rotunjire este de fapt aproximarea prin lipsă și avem aici numărul 1800.

Aproximarea prin rotunjire la ordinul miilor.

Numărul nostru, 1821, este mai mare decât aproximarea prin lipsă și întotdeauna strict mai mic decât aproximarea prin adaos.

Păi și acum haideți să facem calculul.

Păi diferența aici este de 821 și diferența aici, dacă facem 2000 minus 1821, obținem 179.

Păi clar, numărul 2000 este mai apropiat de 1821 decât numărul 1000.

Asta înseamnă că aproximarea prin rotunjire la ordinul miilor este numărul 2000.

Deci vorbim de fapt de o aproximare prin adaos aici.

Acum ca să fim siguri că am înțeles corect, haideți să facem încă două exemple.

Și avem acest tabel și numărul 2560.

Aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor.

Cum facem? Ultima cifră a numărului o înlocuim cu 0.

Bun, însă noi deja avem 0.

Păi asta înseamnă că aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor este chiar egală cu numărul respectiv, adică 2560.

De asta am tot zis că aproximarea prin lipsă uneori este chiar egală cu numărul respectiv.

Bun, aproximarea acum prin adaos.

Păi aproximarea prin adaos este stric mai mare decât numărul respectiv și cum o obținem?

Cum vorbim de o aproximare la ordinul zecilor, atunci cifra zecilor, care este 6, o mărim cu o unitate și avem 2570.

Aceasta e aproximarea prin adaos.

Și acum, haideți să scriem inegalitatea.

Numărul nostru, 2560, este mai mare sau egal, de fapt e chiar egal cu aproximarea prin lipsă și stric mai mic decât aproximarea prin adaos.

Dintre aceste două numere, care e mai aproape de 2560, păi chiar acesta că e egal cu el.

Deci venim și notăm, aici aproximarea prin rotunjire, avem numărul 2560.

Aproximarea prin lipsă la ordinul sutelor.

Cum facem? Ultimele două cifre ale numărului le înlocuim cu zero și avem 2500.

Pentru aproximarea prin adaos la ordinul sutelor.

Cifra sutelor, care este 5, o mărim cu o unitate și avem 2600.

Acum, haideți să scriem și inegalitatea.

Numărul 2560 este mai mare decât aproximarea prin lipsă și stric mai mic decât aproximarea prin adaos.

Dintre aceste două numere, care e mai aproape de 2560?

Păi, putem să ne gândim și astfel.

Numărul 560 e mai aproape de 500 sau de 600?

E mai aproape de 600.

Deci, acesta e numărul pe care îl alegem.

2600 este aproximarea prin rotunjire.

Aproximarea prin lipsă la ordinul miilor.

Ultimele trei cifre ale numărului, cu cât le înlocuim?

Cu zerouri și avem 2000.

Aproximarea prin adaos la ordinul miilor.

Cifra miilor, care este 2, o mărim cu o unitate și avem 3000.

Și acum, numărul 2560 este mai mare decât 2000 și mai mic decât 3000.

Dintre aceste două numere, care e mai apropiat de 2560?

Păi, putem să ne gândim și astfel.

Numărul 2500 e egal departat și de 2000 și de 3000.

Însă, 2560 e clar că e mai apropiat de 3000.

Deci, venim aici și notăm.

Aproximarea prin rotunjire este numărul 3000.

Bun, haideți să ștergem ce am notat și să ne alegem un ultim număr.

Și vom alege un număr ceva mai mare.

Numărul 11375.

Și aproximăm prin lipsă la ordinul 10-lor.

Păi, ultima cifra numărului o locuim cu 0.

11370.

Aproximarea prin adaos.

Cifra 10-lor, adică 7, o mărim cu o unitate.

Avem 11380.

Și acum să vedem care e aproximarea prin rotunjire.

11375 este mai mare decât 11370, mai mic decât 11380.

Diferența dintre aceste două numere este 5.

Și diferența dintre acestea este tot 5.

Ei bine, în asemenea situații când aproximările sunt la fel de depărtate față de numărul respectiv,

atunci se consideră rotunjire aproximarea prin adaos.

Deci, venim aici și notăm 11380, adică aproximarea prin adaos.

Aproximarea prin lipsă la ordinul 100-lor.

Avem ultimele două cifre, le înlocuim cu 0, deci 11300.

Prin adaos, cifra 100-lor, adică 3, o mărim cu o unitate.

11400.

Și acum, haide să scriem direct.

Acest număr e mai apropiat de 11300 sau de 11400?

Păi, 375 este mai apropiat de 400 decât de 300.

De aceea, notăm aici 11400.

Aproximarea prin lipsă la ordinul 1000-lor.

Păi, avem 11000 și prin adaos, cifra 1000-lor, adică acest 1, o mărim cu o unitate.

Și avem 12000.

Dintre aceste două numere, cel mai apropiat de 11375 e clar 11000.

Și iată, am obținut astfel și ultima aproximare prin rotunjire.