Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Să vedem acum ce înseamnă împărțirea cu rest a numerelor naturale.

Și vom porni cu un exemplu.

Avem aceste șapte mingi și vrem să le distribuim în mod egal în trei cutii.

Putem să facem acest lucru?

Păi, haideți să începem distribuirea.

Vom pune o minge aici.

În a doua cutie punem această minge, în a treia punem această minge.

Câte mingi mai avem?

Păi mai avem aceste patru mingi.

Cum avem mai multe mingi rămase decât numărul de cutii, înseamnă că putem să continuăm distribuirea lor.

Deci, în prima cutie trecem și această minge, aici o adăugăm pe aceasta și mai punem o minge și în cea de a treia.

Ce observăm?

Păi iată că ne-a mai rămas o minge.

De ce ne-a mai rămas o minge ca rest?

Pentru că această împărțire, șapte împărțit la trei, nu este o împărțire exactă, este o împărțire cu rest diferit de zero.

Care e restul?

Păi, restul este unul, ne-a rămas aici o minge.

Haideți să facem și împărțirea.

Facem cum am învățat până acum, șapte împărțit la trei.

Păi trei se cuprinde în șapte de două ori.

Deci avem doi, doi ori trei ne dă șase, șapte minus șase, unul.

Mai avem ce șifră să coborăm de la de împărțit?

Nu.

Deci ce am obținut aici se numește restul acestei împărțiri.

Deci avem șapte împărțit la trei, este egal cu doi, rest, unul.

Și acum, haideți să scriem și denumirile.

Șapte este de împărțitul, știam deja, notăm cu D mare de la de împărțit.

Trei este împărțitorul, voi nota cu U mare.

Doi este câtul, da, deja știam.

Iar restul este unul, notăm aici R mare de la rest.

Haideți să vedem acum cum putem să le exprimăm pe șapte pe baza acestei împărțiri.

Păi avem așa, șapte, deci șapte cu cât este egal?

Păi am văzut că el este egal cu șase plus unul.

Bun, dar șase este trei ori doi.

Deci avem trei înmulțit cu doi plus unul.

De fapt, ce am obținut?

De împărțitul este egal cu, avem aici împărțitorul înmulțit cu câtul adunat cu ce este unul?

Unul este restul.

Bun, ce am obținut aici este, se numește teorema împărțirii cu rest.

Voi scrie prescutate H de la teoremă împărțirii cu rest.

Bun, haideți să ștergem aici să se vadă că am scris teorema împărțirii.

Această teoremă o vom folosi în diferite exerciții.

Însă, mai întâi, haideți să vedem care este relația dintre rest și împărțitor.

Păi haideți să ne uităm puțin la exemplu nostru.

După ce am distribuit câte o minge în fiecare cutie, ne-au mai rămas 4 mingi.

Cum? 4 este un număr mai mare decât 3.

3 fiind împărțitorul reprezentat de aceste cutii, am putut să continuăm această distribuire.

Bun, dar până când am continuat distribuirea?

Până când restul a devenit mai mic decât numărul de cutii.

Adică până când restul a devenit strict mai mic decât împărțitorul.

Să știți că întotdeauna restul este strict mai mic decât împărțitorul.

Și cum restul este un număr natural, vom trece că el este un număr mai mare sau egal cu 0.

Vom urmări această inegalitate și pe parcursul exercițiilor noastre.

Și acum haideți să facem câteva împărțiri.

246 împărțit la 13.

Haideți să facem acest calcul.

13 nu se cuprinde în 2, însă se cuprinde în 24 și se cuprinde o singură dată.

Pentru că dacă am trece aici 2, 2 x 13 ne dă 26.

Deja trece de 24.

Ce facem apoi?

Facem scăderea.

Avem aici 1 și aici 1.

Ei bine, facem o scurtă observație aici, care e destul de importantă, zice eu.

Și anume aceea că, întotdeauna la acest pas, când se fac aceste tipuri de scăderi,

pe parcursul unei împărțiri, nu contează că suntem la începutul împărțirii, la mijloc sau la final,

întotdeauna numărul care se obține în urma scăderii este mai mic decât împărțitorul.

Iată, 11 strict mai mic decât 13.

Dacă ce obținem aici este un număr mai mare, înseamnă că pe undeva s-a strecurat o greșeală.

Bun, am încheiat această observație, care sper să vă fie de folos.

Și acum, am făcut scăderea, coborând următoarea cifra de împărțitului.

13. De câte ori se cuprinde în 116?

Păi, haideți să vedem. Dacă facem 13 înmulțit cu 8, de exemplu,

avem 8 x 3, 24, deci 4 și 2 în minte, 8 x 1, 8, cu 2 din minte, 10, 104.

Dacă am face 13 x 9, să vedem dacă ne apropiem mai mult de 116.

Bun, de fapt trebuie să-l adunăm pe 104 cu 13 și o să ne dea 117.

Deja trece de acest număr.

Asta înseamnă că vom trece aici numărul 8.

8 x 13 ne dă 104.

Facem scăderea, 6-4, 2, 1-0, 1 și aici nu ne rămâne nimic.

Ce am obținut?

Păi, am obținut că 246 împărțit la 13 ne dă 18, rest 12.

Cum verificăm dacă împărțirea pe care am efectuat-o este făcută corect?

Păi, proba împărțirii e dată de fapt chiar de teorema împărțirii cu rest,

care ce ne spune?

Ne spune că de împărțitul egal cu împărțitorul ori câtul plus restul.

Cu alte cuvinte, haide să verificăm dacă de împărțitul, adică 246, este oare egal cu 13 ori 18, adică ori câtul, adunat cu restul, adică cu 12.

Păi, 13 ori 18 ne dă 234, puteți să faceți acest calcul, plus 12.

Păi, vedem că dacă adunăm 2 cu 4, 6, 1 cu 3, 4 și acest 2, deci am obținut o relație adevărată.

Am efectuat și proba împărțirii.

Ce mai observăm?

Cum este restul față de împărțitor?

Păi, restul este stric mai mic decât împărțitorul.

12 este stric mai mic decât 13.

Haideți să notăm aici restul stric mai mic decât împărțitorul.

Încă un exemplu.

Să facem această împărțire.

48 de mii.

325 împărțit la 300.

Păi, de fapt, 300 nu se cuprinde nici în 4, nici în 48, dar în 483.

Se cuprinde odată.

1 ori 300 ne dă 300.

Facem scăderea.

Avem aici 3, aici avem 8 și aici ne rămâne 1.

Deci, haideți să ștergem.

Era să facem o greșeală.

Deci, ne rămâne aici 1.

Ce observăm?

Păi, iată că acest număr, 183, după ce am făcut scăderea, este stric mai mic decât împărțitorul.

Am făcut scăderea.

Coborâm acum pe 2.

300 de câte ori se cuprinde în 1832?

Păi, se cuprinde de 6 ori.

7 deja ar fi prea mare.

Și avem aici 1800.

Facem scăderea.

Avem 2, 3 minus 0, 3 și aici nimic și nimic.

Din nou, după această scădere, cât am obținut?

32, care este stric mai mic decât 300.

Coborâm acum și pe 5.

300 se cuprinde în 325 o singură dată.

Deci, trecem 1 ori 300, 300.

Și ne rămâne aici 5, aici 2 și aici nimic.

Deci, avem 48,325 împărțit la 300.

Cât ne-a dat?

161.

Rest, 25.

Bun.

Ca să efectuăm proba împărțirii, ce trebuie să facem?

Trebuie să vedem dacă de împărțitul, egal cu împărțitorul, îl mulțit cu câtul, adunat cu restul.

Și aici e ușor de făcut acest produs.

De fapt, îl mulțim pe 3 cu 161 și la final adăugăm două 0-uri.

3 x 1 ne dă 3.

3 x 6 ne dă 18.

Deci, 8 și 1 în minte.

3 x 1, 3 cu 1 din minte, 4.

Adăugăm cele două 0-uri plus 25.

Păi, e clar că obținem 48,325.

Deci, am făcut un calcul corect.

Avem o relație adevărată.

Din nou, ce relație este între rest și împărțitor?

Restul este strict mai mic decât împărțitorul.

Din nou voi scrie și în paranteză acest lucru.

Mai facem încă un exemplu.

Și avem o împărțire simplă.

21 împărțit la 7.

Păi, 7 intră în 21 de 3 ori.

3 x 7 ne dă 21.

De ce am făcut această împărțire?

Pentru că vorbim aici de o împărțire exactă.

Ei să știți că împărțirile exacte pot fi considerate și ele împărțiri cu rest.

Însă vorbim aici de rest 0.

Deci, notăm că 21 împărțit la 7 se poate scrie

ca fiind egal cu 3 rest 0.

Și în această situație putem să facem verificarea,

adică proba împărțirii.

Verificăm dacă de împărțitul egal cu împărțitorul oricâtul plus restul.

Haideți să vedem.

21 este într-adevăr egal cu 7 ori 3 plus 0.

Avem aici o relație adevărată.

Cu alte cuvinte.

Haideți să reținem această relație care ne spune că de împărțitul

este egal cu împărțitorul oricâtul plus restul.

Și să reținem și faptul că restul este un număr natural mai mare sau egal cu 0

și este întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul.