Media aritmetică a două sau mai multe numere naturale

Vom vorbi în continuare despre media aritmetică a două sau mai multe numere naturale.

Cred că deja ați auzit vorbindu-se despre media aritmetică, pentru că ea se folosește la școală, la calculul mediei anuale

sau și la calculul mediei semestriale pentru materiile la care nu se dăteză.

Să știți că media aritmetică se folosește și în statistică și haideți să dăm un exemplu și să vedem cam ce exprimă media aritmetică.

Și luăm un șir de numere, un șir aleator de numere naturale, 2, 5, 9, 7 și 3.

Deci am ales cinci numere naturale.

Putem să alegem oricât de multe voiam.

Ce înseamnă să calculăm media aritmetică?

Cum am notat media aritmetică?

Păi avem aici un m și un a mai mic, acest a mai mic se numește indice, deci avem m, indice a.

Ca să calculăm media aritmetică a unui șir de numere, facem în felul următor.

Adunăm numerele din șirul respectiv, deci 2 plus 5 plus 9 plus 7 plus 3 și această sumă o împărțim la câte numere sunt în șir, pe câte numere avem?

1, 2, 3, 4, 5 numere, deci împărțim la 5.

Acest calcul reprezintă de fapt media aritmetică și haide să vedem ce obținem.

Facem suma, avem aici 10 cu 9, 19, 19 cu 7, ca aici ne dă 7, obținem 26 împărțit la 5.

Nu o să facem acum o împărțire cu rest și o să scriem rezultatul ca număr decimal și o să obținem 5,2.

Ca prima observație putem să spunem că deși am avut în acest șir doar numere naturale, iată că media aritmetică, valoarea pe care am obținut-o nu e număr natural.

Deci nu e neapărat să obținem valoarea mediei aritmetice număr natural, deși avem niște numere naturale.

Poate să fie număr natural sau poate să nu fie număr natural.

Bun, o altă observație pe care o putem face este aceea că media aritmetică reprezintă tendința centrală a unui șir de numere.

Iată, dacă vom nota acest șir în ordine crescătoare, trecem numărul 2, urmează apoi 3, 5, 7 și 9.

Am scris numele în ordine crescătoare.

Ce observăm? Că numărul care se află, să spunem așa, în mijlocul șirului, adică 5, este apropiat ca valoare de media aritmetică.

Acest lucru ne arată faptul că media aritmetică exprimă tendința centrală a acestui șir de numere.

Însă, foarte mare atenție, acest lucru nu se întâmplă pentru orice șir de numere, ci doar pentru acele șiruri în care numerele date în șir sunt apropiate între ele ca valoare.

Dacă am fi avut, de exemplu, și un alt număr mai mare, să spunem 300, atunci tendința centrală a șirului respectiv nu ar fi fost descrisă prin media aritmetică, ci prin alte metode.

Totuși, v-am spus acest lucru și am făcut și această observație ca să vă faceți câte cât o idee legată de media aritmetică.

Ce putem însă să spunem cu siguranță e următorul lucru.

Întotdeauna media aritmetică este mai mare sau egală decât cel mai mic număr al șirului, pe care îl putem exprima astfel, minimul și notăm aici numerele din șir, 2, 5, 9, 7 și 3

și media aritmetică este mai mică sau egală întotdeauna decât valoarea maximă a șirului, deci notăm max și scriem numerele din șir, 2, 5, 9, 7 și 3.

Păi haideți să vedem dacă e așa.

Care e cel mai mic număr din șir? 2.

Este 2 mai mic sau egal cu 5,2, adică cu media aritmetică? Este.

5,2 la rândul său este mai mic sau egal decât cel mai mare număr din șir, adică decât 9? Este.

Deci acest lucru întotdeauna are loc.

Media aritmetică este cuprinsă între cel mai mic număr al șirului și cel mai mare.

Haideți acum să facem și media aritmetică a două numere.

Și avem numerele 7 și 39.

Vrem să calculăm media lor aritmetică.

Cum vom proceda?

Păi trebuie să adunăm numerele 7 plus 39, iar suma obținută trebuie să o împărțim la câte numere sunt.

Păi avem 1, 2, 2 numere, deci împărțim la 2.

Cât obținem 7 cu 39 ne dă 46, împărțit la 2 vom obține 23.

Iată că în această situație media aritmetică este un număr natural.

Acum haideți să vedem.

Media aritmetică, adică numărul 23, este cuprinsă între cel mai mic număr al șirului și cel mai mare număr al șirului.

Sigur, cel mai mic număr din acest șir este 7.

Nici nu putem să numim șir de numere, avem doar două numere.

7 este mai mic sau egal cu 23 și 23 la rândul său este mai mic sau egal decât 39.

Bun, dacă am vrea acum să scriem o formulă, atunci, dacă avem două numere și haideți să le notăm așa cu A indice 1 și A indice 2,

deci avem două numere naturale, ca să calculăm media lor aritmetică.

Ce vom face? Adunăm aceste numere și apoi suma obținută o împărțim la câte numere sunt.

Păi avem două numere, deci împărțim la doi.

Deci am obținut formula media aritmetice pentru două numere.

Dacă avem trei numere, A indice 1, A indice 2 și A indice 3.

La fel, trebuie să adunăm cele trei numere și suma o împărțim la câte numere sunt, adică 1, 2, 3 numere.

Formula media aritmetice pentru trei numere naturale.

Și așa mai departe dacă avem n mic numere naturale, adică A indice 1, A indice 2 este al doilea număr și așa mai departe până la A indice n al n-lea număr.

Ca să calculăm media aritmetică, procedăm la fel.

Le adunăm.

Facem suma.

Haideți să vegem în așa fel încât să se vadă semnul plus.

Deci facem suma și o împărțim la câte numere sunt.

Păi câte numere avem?

Primul număr, al doilea, al n-lea număr.

Deci împărțim la n mic pentru că sunt n mic numere naturale.

Și notăm aici formula media aritmetice pentru n numere naturale.

Haideți acum să aplicăm ce am învățat.

La finalul primului semestru Dana are la geografie următoarele note 10, 7 și 10.

Și trebuie să vedem care este media la geografie pe primul semestru unde Dana a obținut aceste note.

Nu avem teză, deci nu vom nota nimic aici.

Ce avem de făcut ca să calculăm media?

Vom calcula media aritmetica acestor numere.

Și avem 10 adunat cu 7.

Avem 3 numere adunat cu 10.

Această sumă împărțim la câte numere sunt.

Și avem 1, 2, 3.

Deci aveam să scriu 3.

Deci media aritmetică este egală cu.

Și vom obține aici 27 împărțit la 3.

Deci avem 9.

Cu alte cuvinte venim și notăm.

Dana a obținut pe primul semestru la geografie media 9.

Altă problemă.

În acest tabel avem notate temperaturile citite la ora 9.

În primele 5 zile ale săptămânii.

De luni până vineri.

Și vrem să vedem care este temperatura media primelor acestor 5 zile.

Sau altfel spus care este media acestor 5 temperaturi.

Ce avem de făcut?

Trebuie să adunăm aceste temperaturi.

Deci calculăm media aritmetică.

Și vom aduna 15 cu 13 cu 9 cu 12 și cu 16.

Această sumă împărțim la câte numere sunt.

Păi avem 5 zile.

Deci 5 temperaturi împărțim la 5.

Și media aritmetică este egală cu.

Facem suma.

Avem aici 28.

13 cu 9 ne dă 22.

Adunând aici obținem 50 cu 15.

Deci 65.

Să notăm 65 împărțit mai departe la 5.

Și obținem că media aritmetică este 13.

Cu alte cuvinte.

Media temperaturilor primelor 5 zile ale acestei săptămâni.

La ora 9 a fost de 13 grade Celsius.

Putem să verificăm și aici inegalitatea discutată.

Și anume media aritmetică.

Adică numărul 13.

Este cuprins între cel mai mic număr dintre acestea.

Care e cel mai mic?

9.

Și cel mai mare număr dintre ele adică 16.

13 este cuprins între 9 și 16.

Vreau să vă mai arăt încă două tipuri de probleme pe care le puteți întâlni.

Și primul tip este acesta.

Media aritmetică a șase numere este 95.

Care este suma numerelor?

Haideți să notăm aceste șase numere.

A-1, A-2, A-3, A-4, A-5, A-6.

E clar că avem șase numere.

Și știm că media lor aritmetică este 95.

Și trebuie să găsim suma acestor numere.

Haideți să scriem formula media aritmetice pentru șase numere.

Adunăm toate numerele.

Iar suma o împărțim la câte numere sunt.

Adică la șase.

Ce am notat aici este formula media aritmetice pentru șase numere.

Bun, ce știm noi acum?

Că această media aritmetică este egală cu 95.

Deci, toată această expresie pe care, haideți să o copiem.

Bun, am copiat-o.

Este egal mai departe cu 95.

Atâta e media aritmetică.

Ce ne interesează pe noi?

Suma acestor numere.

Adică exact această sumă care apare aici.

Păi această sumă, haideți să o notăm cu S.

Mic de la sumă.

Și vrem să îl determinăm pe S.

Păi ce știm?

Știm că S împărțit la șase este egal cu 95.

Cu alte cuvinte am obținut o ecuație cu necunoscuta S.

Asta înseamnă că S cu cât este egal?

Păi ce număr împărțit la șase ne dă 95?

95 înmulțit cu 6.

Și vom obține 6 ori 5, 30, 0, 3 în minte.

6 ori 9, 54 cu 3, 57.

Deci, suma este egală cu 570.

Iată că pentru asemenea probleme în care ni se dă media aritmetică a unor numere.

Știm câte numere sunt.

E foarte ușor să determinăm suma acelor numere.

Vom obține până la urmă o ecuație în care necunoscută este chiar suma cerută.

Un alt tip de problemă.

Media aritmetică a două numere este 14.

Știind că unul dintre numere este egal cu 3, să aflăm celălalt număr.

Deci, vorbim acum de două numere.

Și știm că media lor aritmetică este 14.

Ce mai știm?

Iată că unul dintre numere este egal cu 3.

Și trebuie să găsim celălalt număr.

Păi, haide să notăm numărul căutat cu X.

Cu alte cuvinte, avem două numere.

Avem numărul 3 și numărul X.

Știm că media lor aritmetică este 14.

Deci, 3 plus X împărțit la câte numere avem.

Vrem să scriem media aritmetică a acestor două numere.

Este egală cu media aritmetică, adică scriem direct 14.

Și acum trebuie să-l determinăm pe X.

Iată că am obținut o ecuație foarte simplă.

Haideți să o rezolvăm.

Mai întâi, ce trebuie să găsim?

Trebuie să vedem care este valoarea acestei sume.

Ce număr împărțit la 2 ne dă 14?

Ca să aflăm acest număr, adică 3 plus X, înseamnă că pe 14 trebuie să-l înmulțim cu 2.

Și avem că 3 adunat cu X ne dă 28.

E ușor de văzut că X este egal cu 28 minus 3, deci 25.

Și acesta este răspunsul.

Evident că putem să facem și verificarea.

Cu alte cuvinte, vedem dacă media aritmetică a numerelor 25 și 3 este într-adevăr egală cu 14.

Păi 25 plus 3 împărțit la câte numere avem, adică la 2, ne dă 28 împărțit la 2, adică 14.

Iată avem o relație adevărată.