Înmulțirea numerelor naturale

Muzică

În continuare o să discutăm despre înmulțirea numelor naturale și avem aici un exemplu 3 ori 5 timp cu toți egal 15.

Operația de înmulțire este reprezentată prin acest punct și acum haideți să ne amintim cum se numesc numerele care fac parte dintr-o înmulțire.

Cele două numere, în cazul nostru avem două, care se înmulțesc poartă numele de factori.

Deci notăm aici factori, în schimb ce rezultatul care este 15 aici poartă numele de produs.

Deci când avem de a face cu o înmulțire, numerele care se înmulțesc se numesc factori iar rezultatul se numește produs.

De fapt ce este înmulțirea? Păi înmulțirea este o adunare repetată, cu alte cuvinte.

3 înmulțit cu, haideți să notăm, deci avem așa, 3 înmulțit cu 5 este egal cu, ce înseamnă?

Rezultatul este 5 cu 50 cu 5, 15. Haideți să scriem tot cu altul, rezultatul este 15.

Bun, acum știm deja, înmulțirea este o adunare repetată, să facem și câteva exerciții.

De exemplu, să înmulțim pe 23 cu 10.

Ce se întâmplă când înmulțim numere cu 10, 100, 1000 și așa mai departe?

Păi scriem numărul respectiv, 23 și adăugăm la final un 0, pentru că la 10 avem o singură cifră de 0, deci rezultatul este 230.

Dacă aveam însă, de exemplu, 158 înmulțit acum cu 1000, ce obțineam?

Păi trecem cifrele pe care le avem aici, adică 1, 5, 8, la care mai adăugăm, iată, 1, 2, 3 de 0 și rezultatul este 158 de 1000.

Alt exemplu, dacă avem de a face cu astfel de mulțire, 12 înmulțit cu 400.

Păi în asemenea situații, putem să ne gândim în felul următor.

Avem 12 înmulțit cu, pe 400 îl putem scrie 4 înmulțit cu 100.

De fapt, putem să facem mai întâi acest produs, 12 x 4, direct 48 și mai adăugăm ce?

Două 0-uri, că avem aici ori 100, deci răspunsul este 4800.

Haideți acum să facem următoarea înmulțire, să considerăm că avem 129, deci 129 pe care îl înmulțim cu 15.

Bun, când avem asemenea înmulțiri, cel mai bine este să trecem numerele unele sub altele, astfel încât, cum le așezăm?

Păi trebuie să avem unitățile sub unități, zecile sub zeci și așa mai departe.

Și începem și înmulțim.

Îl vom înmulți pe 5 cu 129, apoi pe 1 îl înmulțim cu 129.

5 x 9 ne dă 45, deci scriem 5 și 4 în minte.

Uite, am trecut cu roșu ce ținem în minte.

5 x 2 ne dă 10, cu 4 din minte 14, deci trecem 4 și trecem 1 în minte.

5 x 1, 5 cu 1 din minte 6, deci venim aici și rezultatul și calculul momentan este 645.

Acum pe 1 îl înmulțim cu 9, 1 x 9 ne dă 9, dar unde trecem pe 9?

Păi vom trece în aceeași coloană cu 1, deci aici avem 9.

1 x 2, 2.

1 x 1, 1.

Și acum adunăm ce am obținut.

Avem aici 5, 4 cu 9 ne dă 13, deci avem 3 și 1 în minte.

6 cu 2, 8 cu 1 din minte 9 și aici 1.

Deci avem 1935.

Un alt exemplu, să calculăm acum 1003.

Haideți să scriem mai jos.

Avem 1003 înmulțit cu 24, deci scriem numerele unele sub altele și începem înmulțirea.

4 x 3 ne dă 12, deci trecem 2 și 1 în minte.

4 x 0, 0 cu 1 din minte ne dă 1.

4 x 0, 0 deci trecem aici 0 și 4 x 1 ne dă 4.

2 x 3 ne dă 6, unde trecem pe 6? În dreptul, în aceeași coloană cu 2, deci aici.

2 x 0, 0.

Deja știți, 2 x 1, 0, 0 și avem 2 x 1 adică 2.

Și acum însumăm, avem 2, 1 cu 6 ne dă 7, aici obținem 0, aici avem 4 și îl coborăm pe 2.

Deci rezultatul este 24.072.

În aceste calcule am folosit faptul că 4 x 0 ne dă 0, 2 x 0 ne dă tot așa 0.

De fapt, aici putem nota o observație pe care, sigur, cei mai mulți de voi deja o știți,

orice număr natural, să-l numim a, înmulțit cu 0, o să ne dea întotdeauna 0.

Deci dacă înmulțim cu 0 orice număr natural, rezultatul pe care îl obținem este 0.

Acum, la începutul discuției noastre, am spus că înmulțirea este, de fapt, o adunare repetată.

Și am avut acest exemplu.

3 x 5 îl putem citi de 3 ori câte 5 și avem aici 5 plus 5 plus 5 egal 15.

Dacă însă avem acest calcul, 5 înmulțit cu 3, cum îl putem citi?

Păi avem de 5 ori câte 3, deci 3 plus 3, de câte ori îl scriem?

Îl scriem pe 3 de 5 ori.

Și rezultatul va fi 3 cu 3, 6 cu 3, 9 cu 3, 12 cu 3, 15.

Bun. De fapt, ce observăm?

Iată că 3 înmulțit cu 5, deci 3 ori 5, este unul și același lucru cu 5 înmulțit cu 3.

Unde am mai văzut noi această schimbare de poziție a numerelor?

Păi am văzut la operația de adunare, 3 plus 5, același lucru cu 5 plus 3.

De fapt, vorbim aici de proprietățile înmulțirii și prima proprietate este cea care se numește, ca și la adunare, comutativitate.

Ce înseamnă comutativitatea de fapt?

Că dacă avem două numere naturale, să le spunem A și B, produsul lor A ori B este același lucru cu B înmulțit cu A.

Cea de-a doua proprietate, haideți să vedem dacă, și înmulțirea este ca și adunarea, operație asociativă.

Și facem acest calcul să vedem dacă 3 ori 4, totul înmulțit cu 6, o fi oare același lucru cu 3 înmulțit cu acest produs 4 ori 6?

Păi facem calculul. Aici cât avem? 12 ori 6, care ne dă 72.

Și în această parte ce obținem? Păi îl păstrăm pe 3. 4 ori 6, 24. 3 ori 24 înseamnă 72.

Apoi, de fapt, avem egalitate. Asta înseamnă că putem să ștergem cu încredere acest semn de întrebare.

Cu alte cuvinte, aici 3 ori 4, totul înmulțit cu 6, egal cu 3 ori acest produs 4 ori 6.

Cu alte cuvinte, scriem proprietatea de asociativitate.

Deci, dacă avem, să notăm și aici, a, b și c, trei numere naturale, putem să calculăm produsul ori astfel, mai întâi îl înmulțim pe a cu b și apoi rezultatul cu c, sau pe a îl înmulțim cu rezultatul produsului b ori c.

Bun. Haideți să discutăm în continuare de încă o proprietate.

Deci, notăm proprietatea numărul 3, care e una foarte simplă.

Ce număr, înmulțit, de exemplu, cu 29, ne dă tot 29?

Păi, înseamnă că aici avem numărul 1.

Deci, în loc de semn de întrebare, scriem 1.

De fapt, 1 este elementul neutru al operației de înmulțire, pentru că 1 nu schimbă cu nimic rezultatul unui produs.

Față de adunare, mai discutăm aici de încă o proprietate.

Și anume, înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere.

Deci, trecem aici proprietatea numărul 4.

Acum, ce înseamnă că este distributivă față de adunare și față de scădere?

Păi, haideți să facem următorul exemplu.

3 înmulțit cu 2 plus 5.

Și să facem acest calcul.

Păi, avem de fapt 3 înmulțit cu, facem mai întâi calcul din paranteză, ori 7 ne dă 21.

Dar dacă calculăm 3 ori 2 adunat cu 3 ori 5, cât obținem?

Păi, avem aici 6, avem aici 15, deci obținem tot 21.

Păi, de fapt, ce rezultă?

Rezultă că 3 înmulțit cu acest calcul din paranteză e unul și același lucru cu ce avem în această parte.

Adică, acest calcul este egal cu acesta.

Avem 3 ori 2 plus 3 ori 5.

Ei bine, asta înseamnă distributivitatea față de adunare.

Iată că pe 3 îl distribuim și la acest termen, însă și la acesta.

Și avem 3 ori 2 și 3 ori 5.

Oare acum înmulțirea este distributivă și față de operația de scădere?

De exemplu, 4 înmulțit cu 7 minus 2.

Este oare egal cu 4 ori 7 minus 4 ori 2?

Păi, haideți să vedem.

Facem calculul aici.

Avem 4 înmulțit cu 5, rezultatul este 20.

Aici avem 28 minus 4 ori 2, 8.

Deci rezultatul e tot 20.

E clar, avem egalitate.

Deci putem să ștergem semnul de întrebare.

Cu alte cuvinte, înmulțirea este distributivă și față de scădere.

Iată, pe 4 îl distribuim la fiecare termen în parte.

Și avem 4 ori 7 și 4 ori 2.

Acum am tot vorbit despre proprietăți,

însă la ce le folosim?

Și vă voi da câteva exemple legate de primele două proprietăți

de comutativitate și asociativitate mai întâi.

Aceste două proprietăți ne sunt de mare ajutor

atunci când vrem să calculăm rapid.

De exemplu, dacă avem 5 ori 18 înmulțit cu 2.

În loc să facem 5 ori 18 și apoi să îl mulțim cu 2,

nu e mai simplu să îl mulțim direct pe 5 cu 2?

Ba da, putem să facem acest lucru.

Pentru a face așa, trebuie să aplicăm ce proprietate?

Aplicăm mai întâi aici proprietatea de comutativitate.

Scriu aici com de la comutativitate

și schimbăm locul acestor doi factori.

Și avem 18 ori 5 ori 2.

De ce facem acest lucru?

Pentru că această scriere ne permite să folosim acum asociativitatea

și îl înmulțim mai întâi pe 5 cu 2.

Deci egal mai departe cu 18 ori 10, adică 180.

Iată că putem face calculul foarte rapid chiar și în munte.

Un alt exemplu, 2 înmulțit cu 43 înmulțit cu 15.

La fel, ce facem?

Aplicăm aici comutativitatea și vom avea așa.

2 înmulțit cu.

Deci 2 înmulțit cu 15 înmulțit cu 43.

De ce folosim această scriere?

Păi putem să facem 2 ori 15 care ne dă mai departe 30 ori 43.

Cum îl scriem pe 30?

Păi avem 10 ori 3 ori 43.

Facem acum acest calcul care e ușor de văzut că ne dă 129.

Deci notăm egal mai departe cu 129 practic ori 10, deci mai adăugăm un 0.

Deci rezultatul e 1290.

Aici v-am dat explicațiile, detaliat, dar sigur, aplicând comutativitatea și asociativitatea

puteți să faceți calculul direct în minte.

Despre utilitatea acestei proprietăți, a faptului că înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere,

vom discuta într-o altă secvență.