Factorul comun

În continuare vom discuta despre factorul comun, însă haideți să ne amintim mai întâi că într-o secvență anterioară am discutat despre proprietățile înmulțirii.

Care erau aceste proprietăți ale înmulțirii?

Vorbim aici despre comutativitate, asociativitate, elementul neutru și distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere.

Acum haideți să ne referim puțin la această ultimă proprietate.

Ce înseamnă distributivitatea înmulțirii față de adunare, de exemplu?

Păi 9, dacă avem acest calcul înmulțit cu 7 plus 4, a folosit distributivitatea înmulțirii față de adunare,

înseamnă că, de fapt, pe 9 îl distribuim, să zicem așa, la fiecare termen în parte.

Deci vom avea 9 pe care îl înmulțim cu 7 adunat cu, trecem operația care apare în paranteză, 9 înmulțit cu 4.

Asta înseamnă distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Acum putem să vorbim și de distributivitatea înmulțirii față de scădere.

Deci dacă avem aici 7 minus 4, va fi egal cu, deci pe 9 îl distribuim la fiecare termen în parte,

avem 9 înmulțit cu 7 minus, scriem operația din paranteză, 9 înmulțit cu 4.

Bun, de fapt când folosim distributivitatea înmulțirii față de adunare sau scădere,

de fapt spunem că desfacem parantezele pentru că, iată, aici și nici și aici nu ne mai apar paranteze.

Noi am zis acum că vorbim de factorul comun.

Ei bine, factorul comun este, să zicem așa, acțiunea inversă distributivității înmulțirii față de adunare și scădere.

Dacă avem, de exemplu, un asemenea calcul, iată, 3 ori 4 plus 3 ori 15,

3, 4 și aici 3 și 15 sunt toți factori pentru că fac parte din două produse.

Acum, dintre acești factori, avem vreun factor care apare în toate produsele?

Sigur, iată, vorbim de factorul 3 care apare și în acest produs, dar și în acesta.

Atunci, haideți să notăm că 3 este factor comun.

Deci, pentru că 3 este factorul care apare în toate produsele, îl numim factor comun.

De vreme ce am spus că distributivitatea înmulțirii, iată, spre exemplu, să ne uităm aici,

distributivitatea înmulțirii e acțiunea inversă factorului comun,

atunci, ce vom obține în cazul acestui calcul, dacă privim acest exemplu?

Păi, e clar de aici că, de fapt, această relație este egală cu, îl scriem pe 3 înmulțit cu,

ce ne rămâne în paranteză?

Păi, avem 4 plus, plusul de aici, 15.

Iată, dacă aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunoare,

vom avea 3 x 4, exact ce e aici, plus, iată plus, 3 x 15, adică ce avem aici.

Ei făcând acest pas, spunem că am dat factor comun pe 3.

La ce credeți că ne folosește acest factor comun?

Păi, putem să calculăm mai ușor.

De exemplu, dăm factor comun, calculăm această sumă și apoi acest produs,

în loc să facem aici două produse și apoi o sumă.

Bun, haideți să dăm acum câteva exemple ca să ne obișnuim cu factorul comun.

Și avem 8 x 2 adunat cu 8 x 10 adunat mai departe cu 8 x 9.

Există printre acești factori, da?

Există vreun factor care apare în toate produsele?

Sigur, iată, vorbim de factorul 8.

Ce devine el? El devine factor comun.

Deci, egal mai departe cu, scoatem factorul comun în față,

trecem operația de înmulțire și apoi ce scriem în paranteză?

Copiem tot ce ne apare în exercițiu, fără a mai ține cont de factorul 8,

pe care deja le-am dat în față.

Deci avem 2 plus, ce ne rămâne de aici?

10 plus 9.

Bun, și facem acum calculul.

Avem 8 înmulțit cu 10, 12 cu 9, 21, deci avem 168.

Alt exemplu, 5 înmulțit cu 10 adunat cu 5 x 23 minus 6 x 5.

Bun, care este factorul comun?

Păi avem aici, iată, ne apare 5 x 10.

Factorul 5 ne apare și aici și ne apare și aici.

Deci să nu ne sperie faptul că aici ne apare 6 x 5 în loc de 5 x 6.

E același lucru, înmulțirea știind că e o operație comutativă.

Deci, factorul comun este 5, va fi egal cu 5 înmulțit cu.

Ce scriem în paranteză?

Păi avem 10 adunat cu, respectăm operațiile date în exercițiu, 23, din care scădem apoi pe 6.

Și facem acum calculul.

Cât vom avea?

Păi 10 cu 23, 33 minus 6, 27.

Și acum calculăm.

5 x 7, 35, adică 5 și 3 în minte.

5 x 2, 10 cu 3, 13.

Deci rezultatul este 135.

Un alt exemplu, haideți să scriem mai jos, dar să se vadă și celelalte exemple.

Și avem acum, 4 înmulțit cu 13, la care adunăm pe 4 și scădem 4 x 5.

Egal mai departe cu.

Care e factorul comun?

Păi iată că 4 ne apare în acest produs.

Ne apare 4 și aici.

Însă ce observăm?

Păi ca să dăm factor comun, ca să avem practic factor, avem nevoie de produse.

Ori aici nu avem un produs.

Ce facem?

Putem să construim aici un produs în așa fel încât rezultatul exercițiului să nu se schimbe?

Sigur.

Aici pe 4-ul putem scrie ca fiind 4 înmulțit cu 1.

Haideți să, 4 înmulțit cu 1.

4 x 1 înseamnă de fapt 4 și iată că făcând acest artificiu am obținut că 4 este factor comun.

Deci notăm, avem aici 4 înmulțit cu, ce trecem în paranteză?

Scriem tot fără a ține cont de factorul 4 pe care l-am dat deja în față.

13, plus ce urmează?

1 minus 5.

Deci avem așa, 4 înmulțit cu 14 minus 5 înseamnă 9, deci rezultatul este 36.

Cu alte cuvinte să nu ne lăsăm păcăliți în asemenea situații în care, iată, nu avem un termen care să fie scris ca produs.

Întotdeauna putem să scriem numărul respectiv ori 1 și astfel vom putea da factor comun, cum a fost aici.

Încă un exemplu, să facem acum, să dăm factor comun în acest calcul.

Avem 9 minus 6 adunat cu 12.

Acum, ca să dăm factor comun, cum am spus, avem nevoie de factori.

Însă noi aici peste tot avem doar adunări și scăderi, deci vorbim de termeni.

Păi, haideți să scriem fiecare termen în parte ca produsul unor factori.

Cum îl scriem pe 9?

Păi, e ușor, 3 ori 3 minus 6, îl putem scrie 3 ori 2 sau 2 ori 3, e același lucru,

plus pe 12 îl putem scrie, iată, 2 ori 6.

Însă dacă scriem 2 ori 6, observăm că nu prea găsim factor comun pentru tot acest calcul.

Dar, tot pe 12, cum îl mai putem scrie?

Păi, de vreme ce și aici ne-a apărut 3, ne gândim să îl scriem 3 înmulțit cu cât?

3 ori 4.

Și iată, avem acum că 3 este factor comun.

Deci, este egal mai departe cu 3 pe lângă.

3 minus 2 plus și mai avem aici numărul 4.

Egal cu 3 înmulțit cu aici, obținem 1 cu 4, 5.

Deci rezultatul este 3 ori 5, 15.

Acum, Alex a avut de făcut acest calcul.

3 ori 2 ori 3 ori 10.

Și el, văzând și aici factorul 3 și aici, a spus că, bun, e un calcul simplu.

Și atunci a scris că e egal cu 3 înmulțit cu 2 ori 10.

Și a pus aici paranteză.

Întrebarea este, a făcut corect acest calcul? Adică avem aici egalitate?

Păi, haideți să ne gândim puțin.

Facem mai întâi acest calcul.

Și avem 3 ori 2 care înseamnă 6.

Înmulțit cu 3 înseamnă 18.

Înmulțit cu 10, adică ne dă aici 180.

Cât obținem aici?

Păi avem, cum observăm că avem peste tot înmulțire, știm că înmulțire e operația asociativă.

Deci nu e neapărat să începem cu produsul 2 ori 10, ci putem să înmulțim numerele în orice ordine vrem.

Dacă vreți putem să respectăm ce am scris aici, adică 3 ori 2, 10, care ne dă 60.

Bun, păi avem aici egalitate?

Nu este egal, deci haideți să tăiem, că de fapt aici nu este egalitate.

Ștergem acest semn de întrebare și scriem diferit.

Asta înseamnă că Alex a greșit la acest calcul.

Unde credeți că a fost greșat la lui?

Păi iată, el s-a gândit că văzând acești 2 de 3, atunci a presupus că 3 este factor comun.

Și a scris 3 înmulțit cu a copiat restul exercițiului fără a ține cont de acești 2.

Factor adică 2 ori 10.

De ce nu este corect?

Pentru că nu putem să aplicăm factorul comun decât dacă între produsele respective, adică între aceste două produse,

să avem ce operații?

Păi doar operații de adunare, deci adunare sau scădere.

Dacă aveam 3 ori 2 plus 3 ori 10, atunci dădeam factor comun pe 3.

Sau 3 ori 2 minus 3 ori 10.

Deci nu a fost cazul, înseamnă că Alexandru a greșit la acest calcul.

Și după explicația primită, atunci Alex se întreabă.

Bun, dar același lucru se petrece și în această situație?

Dacă avem 4 ori 10 împărțit la 4 ori 5, o fi oare egal cu 4 înmulțit cu 10 împărțit la 5?

Păi haideți să verificăm, facem calculul.

4 ori 10 înseamnă 40.

Împărțit la 4 înmulțit cu 5.

Știm că atunci când avem operații de gradul al doilea, le efectuăm de același grad.

De fapt, le efectuăm în ordinea dată în exercițiu.

Deci 40 împărțit la 4 înseamnă 10 ori 5, 50 este rezultatul.

Ce avem aici?

Păi 4 înmulțit cu 10 împărțit la 5, efectuăm mai întâi acest calcul.

Adică 2, 4 ori 2 ne dă 8.

Păi 50 nu e egal cu 8, da?

Deci, haideți să scriem.

Este diferit.

Asta înseamnă că aici avem diferit, deci ștergem acest semn de întrebare.

Cu alte cuvinte, nici aici nu se poate același lucru.

De ce?

Pentru că nu avem între aceste două produse adunare sau scădere.

Deci, ne referim la aceste două produse.

Dacă aveam adunare sau scădere, atunci, într-adevăr, puteam să dăm factor comun.

Deci, haideți să fim foarte atenți că atunci când dăm factor comun, să-l dăm corect.