Trecerea din baza 10 în baza 2

Cum obținem scrierea binară a unui număr care este dat în baza 10?

Cu alte cuvinte, vom avea numere date în baza 10 și vrem să le scriem în baza 2, adică să obținem scrierea lor binară.

Invers, din baza 2 în baza 10, deja am văzut cum facem aceste transformări.

Iată, am avut aici 10010 în baza 2, care este egal cu numărul 18 în baza 10.

Ce avem de făcut prin urmare?

Dacă vrem să îl scriem pe 19, un număr dat în baza 10, și vrem să obținem scrierea sa în baza 2.

Păi, în această situație, ce am făcut?

Iată, pe 18 l-am scris, de fapt, ca o sumă de puteri cu baza 2.

Același lucru trebuie să facem și pentru numărul 19.

Și haideți să vedem, față de 19, care este cea mai apropiată putere cu baza 2 și este mai mică sau chiar egală cu 19?

Păi, 2 la a 4-a ne dă 16.

O putere mai mare, adică luăm următorul exponent 5, ne dă 32.

32 e prea mare, asta înseamnă că pe 19 îl vom scrie în funcție de 16.

Deci, venim aici și notăm, avem 16 adunat cu, cât ne trebuie?

Păi, ne mai trebuie 3.

Deci, vom avea 16, adică 2 la a 4-a, cum am spus, plus, în loc de 3.

Cum îl scriem acum pe 3 ca o sumă de puteri cu baza 2?

Păi, putem să mergem mai departe aici.

2 la a 3-a ne dă 8, 8 e prea mare față de 3.

2 la a 2-a ne dă 4 și el e prea mare.

2 la a 1-a ne dă 2.

Și mai aveam nevoie, de fapt, de 1, pe care îl putem scrie 2 la 0.

Deci, pe 3 îl scriem 2 la a 1-a plus 2 la 0.

Deci, avem aici 2 plus 1.

Și să scriem acum 2 la a 4-a plus 2 la a 1-a și pe 1, cum am spus, îl scriem 2 la 0.

Iată că l-am scris pe 19 ca o sumă de puteri cu baza 2.

Acum, noi știm că numerele scrise în baza 2

trebuie să aibă ca simboluri doar cifrele 0 și 1.

Și avem aici, pe ultimul loc, să spunem așa,

trebuie să avem cifra unităților, deci 2 la 0.

Aici avem cifra doilor, să spunem așa, 2 la a 1-a.

Apoi, 2 la a 2-a, 2 la a 3-a, 2 la a 4-a.

Aici ar trebui să notăm 2 la a 5-a, însă vedem că nu ne mai apare 2 la a 5-a aici,

deci trebuie să ștergem această liniuță.

Și acum, cum vom scrie?

Avem aici, pe 2 la 0, înmulțit cu ceva?

Sigur, avem, de fapt, 1 înmulțit cu 2 la 0, deci putem veni să notăm aici 1.

2 la 1 ne apare?

Da, avem 2 la a 1-a, practic 1 ori 2 la a 1-a, deci venim și notăm 1.

2 la a 2-a, ne apare aici 2 la a 2-a?

Nu, asta înseamnă că, pe acest loc, avem cifra 0.

2 la a 3-a, aici ne apare 2 la a 3-a?

Nu, deci din nou avem cifra 0.

Și avem și 2 la a 4-a, pe care îl putem scrie, cum am făcut și aici, 1 ori 2 la a 4-a.

Deci aici avem cifra 1.

Și iată că am obținut 1, 0, 0, 1, 1.

Deci, aici avem, de fapt, această scriere, 1 ori 2 la a 4-a,

plus, cum nu avem 2 la a 3-a, notăm 0 ori 2 la a 3-a,

plus, nu avem nici 2 la a 2-a, deci 0 ori 2 la a 2-a,

plus, 1 ori 2 la a 1-a,

plus, 1 ori 2 la a 0-a.

Și iată exact ce am obținut aici.

1, adică acesta, 0 acesta, 0 acesta,

1 de aici și 1 de aici.

Deci, haideți să notăm că numărul 19 se scrie

1, 0, 0, 1, 1,

în baza 2.

Acum, ce se întâmplă când avem numere mari?

De exemplu, dacă am vrea să scriem numărul 163,

vrem să-l scriem în baza 2.

Păi, pentru aceasta putem să folosim și o altă variantă

și vom începe cu numărul 19 ca să verificăm

dacă ne dă cât am obținut aici.

Deci, pentru numărul 19 vrem să-l scriem

în baza 2.

Pentru aceasta, pe numărul 19 îl vom împărți la 2.

De fapt, vom realiza niște împărțiri succesive la 2.

De ce împărțim la 2?

Păi, putem să ne gândim că vrem să obținem un număr

în baza 2 și mai mult decât atât,

când împărțim un număr la 2,

resturile pe care le obținem sunt

0 sau 1.

Ei bine, aceste resturi, rezultate

din împărțirile succesive, vor alcătui

numărul în baza 2.

Dacă îl împărțim pe 19 la 2,

avem așa, 9 ori 2 ne dă 18,

facem scăderea, 19 minus 18

ne rămâne aici 1.

Vedeți cum am notat? Aici nu e o împărțire obișnuită.

O să vedeți cum continuăm.

Deci, facem niște împărțiri succesive.

Acum, vom împărți câtul la 2.

Aici am obținut restul și 9 este câtul.

Deci, din nou împărțim la 2.

9 cât va fi acum? 4, pentru că

avem 4 ori 2 ne dă 8 și restul,

9 minus 8 ne dă 1. Bun.

Pe 4 acum îl împărțim din nou la 2.

Până când vom împărți?

Până când vom obține câtul egal cu 1.

Deci, 4 împărțit la 2 ne dă 2.

2 ori 2 ne dă 4.

4 minus 4 ne dă 0.

Mai departe, pe 2,

acest cât îl împărțim la 2.

Și iată că acum am obținut câtul 1.

1 ori 2 ne dă 2.

2 minus 2 ne dă 0, pentru că avem aici câtul 1.

Sau putem să ne gândim astfel.

Nu mai putem să îl împărțim pe 1 la 2.

Atunci ne-am oprit.

Ce am obținut aici?

Iată, avem 1, toate aceste resturi.

Resturile vor alcătui numărul,

vor reprezenta, de fapt,

scrierea numărului 19 în baza 2.

Însă, atenție!

Vom scrie numărul pornind din această parte.

Deci, pornind din dreapta către stânga.

Deci, numărul 19

este egal cu, avem 1,

0, 0,

1, 1

în baza 2.

Adică exact ce am obținut și aici.

De ce are loc această scriere?

Păi, haideți să ne gândim puțin.

Numărul 19.

Prima dată ce am făcut?

Păi, pe 19 l-am împărțit la 2

și am obținut câtul 9 și restul 1.

Iată, 19 poate fi scris 2 ori 9,

deci 2 ori 9 plus 1.

Ce am făcut apoi?

Pe 9 l-am scris,

deci avem aici 2 înmulțit cu,

pe 9 l-am scris 4 ori 2,

adică 8 plus 1.

Deci, notăm în paranteză.

Avem 2 ori 4,

deci 8 plus 1.

Și închidem paranteza,

adăugăm aici plus 1.

Păi, haideți să desfacem această paranteză.

Avem 2 înmulțit cu 2,

înmulțit cu 4.

2 ori 2 înseamnă 2 la a doua.

Ori 4 plus,

pe 2 îl înmulțim cu 1

și obținem 2,

adunat cu acest 1,

din afara parantezei.

Păi, 4 este 2 la a doua,

aici avem 2 la a doua,

deci adunăm exponenții și obținem

2 la a patra.

Deci, haideți să scriem direct.

Avem 2 la a patra plus,

aici avem 2 la 0,

plus, pardon,

2 la a întâia.

Deci, avem 2 la a întâia

și aici avem pe 1 care este 2 la 0.

Deci, am obținut, de fapt,

haideți să scriem detaliat,

1 înmulțit cu 2 la a patra plus

2 la a treia avem, nu,

deci avem 0 ori 2 la a treia,

plus 0 ori 2 la a doua,

că nu avem nici 2 la a doua,

plus, pe 2 la a întâia l-avem,

deci îl notăm 1 ori 2 la a întâia,

care ne dă 2 la a întâia,

plus 1 ori 2 la 0.

Și iată ce am obținut.

Exact această scriere pe care am discutat-o mai sus.

1, 0, 0,

deci 1, 0, 0, 1, 1,

iată-i aici.

Haideți acum să vedem,

să-l scriem pe 163.

Pe 163 îl vom împărți pentru început la 2

și facem împărțire cu rest,

deci 163 împărțit la 2,

ne va da,

16 împărțit la 2, 8, 8 ori 2,

16, aici nimic,

coborâm pe 3, 3 împărțit la 2,

păi 2 intră în 3 odată,

deci 1 ori 2, 2,

restul e 1.

De cuvinte obținem 81 rest 1.

Venim aici și notăm,

81, trecem câtul,

81 ori 2 ne dă

162

și obținem restul 1.

Bun, mai departe,

pe 81 îl vom împărți la 2

și vom avea așa,

putem să notăm direct

40, 40 ori 2 ne dă

80, facem aici scăderea,

81 minus 80 ne dă 1.

Pe 40 acum

îl vom împărți tot așa

la 2 și ne dă 20,

20 ori 2 ne dă

40, deci restul

pe care îl obținem e 0.

Din nou împărțim la 2,

20 împărțit la 2 înseamnă

10, 10 ori 2, 20,

obținem tot restul

0, pe 10 îl împărțim

la 2, ne dă 5,

5 ori 2, 10, restul

0, la fel procedăm și cu

acest nou cât, adică

numărul 5 îl împărțim la 2.

Avem acum 2 ori

2, 4,

5 minus 4, 1, deci am

obținut aici restul 1,

împărțim din nou la 2,

2 împărțit la 2 ne dă

1, 1 ori 2 ne dă

2 și restul 0.

Obținând câtul 1 încheiem

acest

algoritm și ce am obținut?

Păi avem aceste

resturi pe care

le voi încadra ca să fie

mai ușor de urmărit.

Cu alte cuvinte,

numărul 163

din baza 10

scris

în baza 2

este, cum am spus că începem,

vom scrie de la dreapta

spre stânga, deci mai întâi

începem cu acest număr și avem

1

urmat de 0

apoi 1

apoi 3 de 0, 1, 2,

3, deci 0, 0,

0, urmat de 2 de 1,

1 și 1

în baza 2. Iată

că numărul 163

se scrie 1, 0, 1,

0, 0, 0, 1, 1

în baza 2. Și

într-o secvență anterioară chiar

acest număr

l-am scris, l-am transformat, să zicem așa,

din baza 2 în baza

10 și am obținut

numărul 163.