Sistemul de numerație zecimal și sistemul de numerație binar

Să vorbim acum despre sistemul de numerație decimal și sistemul de numerație binar.

Pare un titlu complicat, însă să știți că e o lecție destul de interesantă.

Și acum, ca să ajungem la sistemul de numerație decimal,

haideți să ne gândim puțin la cifrele pe care le folosim noi.

Păi noi folosim cifre de la 0 până la 9.

Însă să știți că lucrurile nu au fost așa de la începutul apariției sau evoluției oamenilor.

Oamenii preistorici probabil că foloseau un alt sistem de numerație.

De exemplu, ca să ajungă de la un loc la altul și să vadă cam care este numărul zilelor petrecute pe drum,

gândeau în felul următor.

Deci, mergeau o zi, mergeau încă una, mergeau încă una și încă una.

Și așa cât de cât își făceau o idee despre durata drumului respectiv.

Însă este clar că odată ce avem din ce în ce mai multe asemenea liniuțe, adică folosim acest simbol de mult mai multe ori,

e mult mai ușor să ne încurcăm în această numărătoare.

De aceea era clar că oamenirea avea nevoie de un sistem de numerație mult mai simplu.

Mesopotamieni aveau un alt sistem de numerație.

Iată, acest triunghi însemna numărul 1.

Acesta numărul 10, iar acesta numărul 60.

Dacă am fi vrut să scriem, de exemplu, numărul 23, foloseam două asemenea triunghiuri care reprezintă împreună numărul 20 și apoi încă 3.

Egiptenii foloseau alte simboluri.

Iată, avem aici numărul 1, o liniuță, numărul 5 era reprezentat de 5 liniuțe, acest arc reprezenta numărul 10.

Pergamentul îndoit reprezenta numărul 100, floarea de lotus, adică acest simbol, numărul 1000 și degetul arătător 10.000.

Însă toate aceste sisteme de numerație ce am prezentat până acum sunt destul de complicate.

Și de aceea s-a durit construirea unui sistem de numerație mult mai simplu.

Se presupune că datorită faptului că oamenii au 10 degete, atunci s-a construit un sistem de numerație decimal, adică un sistem de numerație în baza 10.

Cele 10 simboluri ale acestui sistem de numerație decimal sunt cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Ele reprezintă, ele sunt de fapt doar niște simboluri cu ajutorul cărora a fost construit acest sistem de numerație decimal.

Să știți că există și alte sisteme de numerație.

Avem, de exemplu, sistemul de numerație în baza 2.

Deci haideți să notăm aici baza 2.

Acesta se mai numește și sistem de numerație binar.

Acum, dacă la sistemul de numerație în baza 10 am avut 10 simboluri, la acesta în baza 2 câte simboluri vom avea?

Păi doar două.

Care sunt acelea?

Aici am avut toate numerele naturale de la 0 și au fost strict mai mici ca 10.

Aici tot așa, avem toate numerele naturale de la 0 strict mai mici ca 2, adică 0 și 1.

Cum scriem acum un număr în baza 10?

Păi haideți să luăm, ca exemplu, numărul 163.

Păi îl putem scrie în felul următor.

Trecem prima cifră urmată doar de 0-uri, adică avem numărul 100 adunat cu 63.

Procedăm la fel pentru 63.

Deci haideți să îl scriu pe 100.

Avem 6 urmat doar de 0-uri, avem nevoie de fapt doar de un singur 0, plus 3.

Și acum, noi vrem să evidențiem această bază 10, să vedem cum facem acest lucru.

Păi pe 100 îl putem scrie 10 la a doua sau 1 înmulțit cu 10 la a doua.

O să înțelegeți imediat de ce am pus 1 înmulțit cu plus.

Aici avem 60, adică 6 înmulțit cu 10, adică 10 la a întâia, adunat cu 3.

Păi pe 3 pot să-l scriu 3 ori 1, însă pe 1 pot să-l scriu ca o putere cu baza 10 și anume 10 la exponentul 0.

Păi iată că astfel, prin aceste puteri ale lui 10, am evidențiat că am aici un număr care este scris în baza 10.

Pentru baza 2, ce vom avea?

Păi nu vom avea puteri ale lui 10, ci vom avea puteri ale lui 2.

Și vom vedea acest lucru imediat.

Însă înainte, haideți să ne mai uităm puțin la numărul 163.

Era normal ca acest număr să fie scris astfel, pentru că iată 3 este cifra unităților, da?

Avem aici 3 ori 1.

Aici avem cifra 10-ilor și noi avem 60, adică 6 ori 10.

Iar aceasta este cifra 100-elor, adică avem 1 înmulțit cu 100.

De aceea, iată, am scris aici 1 ori 100 ca să evidențiem clar cifrele care apar.

1, 6 și 3.

Dacă facem suma, iată, obținem exact ce avem aici, adică numărul 163.

Deci am putea să scriem astfel.

Aici este locul unităților, adică 10 la 0, care înseamnă 1.

Aici avem locul 10-ilor, adică 10 la puterea întâia, iar aici avem locul 100-elor, 10 la puterea a doua.

Cum am spus, dacă în sistemul de numerație decimal avem putere ale lui 10, în sistemul de numerație binar avem puteri ale lui 2.

Și anume, vom avea, haideți să notăm așa, să presupunem că acest, avem aici un număr cu mai multe cifre scrise în baza 2.

Și vom avea 2 la 0, haideți să scriem de aici, 2 la 0.

Aici este locul unităților.

Aici nu vom mai avea locul 10-ilor ca aici, ci putem să spunem că avem locul 2-ilor, că avem practic 2 la întâia.

Aici vom avea 2 la a doua, 2 la a treia, deci același lucru, însă în loc de baza 10 avem baza 2.

2 la a patra, 2 la a cincea, 2 la a șasea și 2 la a șaptea.

Să știți că acest număr, 163, scris în baza 2, este acesta și avem 1, 0, urmat de 1, apoi 0, 0, 0, 1 și 1.

Ei bine, acest număr pe care îl vedeți aici, este un număr scris în baza 2, un număr scris doar cu aceste simboluri 0 și 1.

Sistemul de numerație binar este cel care stă la baza calculatoarelor.

De ce? Pentru că bit-ul, adică acea celulă, să-i spunem așa, de bază, poate lua valoarea 1 sau 0, adică poate să treacă sau să nu treacă curent prin celula respectivă.

Și orice operație făcută de calculator este făcută în sistem binar.

De exemplu, dacă noi vrem să calculăm această sumă 13 plus 9, calculatorul lucrează în spate, să spunem așa, doar cu aceste numere.

Deci transformă numerele din baza 10 în baza 2 și apoi lucrează cu ele în baza 2.

Acum, lăsând la o parte această curiozitate, haideți să vedem cum ajungem de la un număr scris în baza 2, de exemplu acesta, la un număr scris în baza 10.

E clar că transformând acest număr din baza 2 în baza 10, trebuie să obținem numărul 163.

Bun, cum facem asta?

Păi aici avem locul unităților și observăm că avem cifra 1, deci avem practic 1 înmulțit cu, evidențiem faptul că 1 e unitate prin înmulțirea cu 2 la 0.

Acum aici nu avem locul 10-lor, ci locul 2-lor, dacă vorbim de baza 2 și avem simbolul 1 înmulțit cu 2 la 1.

Apoi avem 0 înmulțit cu 2 la a doua.

Apoi avem 0 din nou înmulțit acum cu 2 la a treia, apoi tot 0 înmulțit cu 2 la a patra, apoi 1 înmulțit cu 2 la a cincea, 0 îl înmulțim cu 2 la a șasea și pe 1 în final îl înmulțim cu 2 la a șaptea.

Prin însumarea acestor numere, care atenție acum sunt numere scrise în baza 10, trebuie să obținem numărul 163.

Păi vom avea așa, 2 la a șaptea înseamnă 128, 1 ori 128 ne dă 128, aici obținem 0.

Aici vom avea 2 la a cincea, 32 ori 1 deci 32, aici tot 0, 0, 0, că avem 0 ori un număr, 1 ori 2 la a întâia ne dă 2, 2 la 0 înseamnă 1 înmulțit cu 1 ne dă 1 și haide să trecem și operația de adunare între aceste numere.

Cât obținem?

Păi avem 128 cu 32, cu 2 cu 1 deci cu 3, rezultatul este 163, haide să notăm aici 163, deci iată că am obținut într-adevăr acest număr.

Acum, în exerciții putem să notăm astfel, deci avem acest număr 1, 0, 1, urmat de 3 de 0 și 2 de 1 în baza 2, ca să evidențiem că vorbim de baza 2, aici în paranteză trecem numărul 2 și arătăm că avem un număr scris în baza 2.

Cum îl transformăm în baza 10?

Păi exact ca aici, însă putem să începem cu ultima cifră și vom avea așa 1 înmulțit cu, și avem puterea 0 a lui 2, adică 2 la 0, plus 1, acest 1 înmulțit cu 2 la a întâia, plus 0 ori următoarea putere a lui 2, adică 2 la a doua.

Cu alte cuvinte obținem exact această sumă, însă termenii sunt scrisi invers de la dreapta la stânga, plus, deci am făcut acest 0, urmează încă un 0 înmulțit cu 2 la a 3-a, plus încă un 0, adică acesta înmulțit cu 2 la a 4-a, plus urmează aici un 1 ori 2 la a 5-a, plus 0 ori 2 la a 6-a și în final mai avem 1 ori 2 la a 7-a.

Păi avem exact aceea sumă ca aici și am obținut numărul 163 pe care îl putem scrie în baza 10, astfel putem să notăm aici numărul 10 și asta înseamnă că avem un număr în baza 10.

Nu e neapărat nevoie să scriem baza atunci când avem baza 10 pentru că e baza pe care o folosim cel mai des.

Haideți să mai facem încă un exemplu și să transformăm din baza 2 în baza 10 acest număr 1 0 0 1 0, deci avem baza 2.

Cum notăm? Păi avem prima cifră de aici 0 înmulțit cu puterea 0 alui 2 adică 2 la 0 adunat cu urmează apoi 1 înmulțit cu 2 la a 1-a adunat cu 0 ori 2 la a 2-a adunat cu 0 acest 0 înmulțit cu 2 la a 3-a adunat cu 1 înmulțit cu 2 la a 4-a.

Și vom avea așa 0 aici avem 2 la a 1-a ne dă 2 ori 1 2 plus aici ne dă 0 plus din nou 0 plus 2 la a 4-a este 16 înmulțit cu 1 deci 16.

Care e rezultatul? Păi avem 16 adunat cu 2 deci ne dă 18.

Deci ca să transformăm un număr din baza 2 în baza 10, haideți să scriu aici, vom face această sumă și vom lua pe rând puterile lui 2.