Sistemul de numerație hexazecimal

Într-o secvență anterioară am discutat despre baza 10, sistemul de numerație decimal și sistemul de numerație binar, adică baza 2.

Și avem aici numărul 163, care are această scriere în baza 10 și are această notație în sistemul binar.

Haideți să ne amintim că această ultimă poziție pe care se află cifra 3 este cifra unităților, adică 10 la puterea 0, care înseamnă 1 de aici, numele de unitate.

Aici avem cifra zecilor, adică 10 la exponentul 1 și 1 reprezintă cifra sutelor, adică 10 la a doua.

E clar că dacă facem acest calcul 3 ori 10 la 0, adunat cu 6 ori 10 la întâia, adunat cu 1 ori 10 la a doua, ne va da numărul 163.

Bun, același lucru se petrece și aici.

Ultima poziție este poziția pe care așezăm cifra unităților, aici avem acum, vorbim de baza 2, deci avem 2 la 0 în loc de 10 la 0.

Aceasta este cifra unităților, aici nu mai avem cifra zecilor ca aici, pentru că nu mai avem 10 la întâia, ci avem 2 la întâia.

Urmează apoi 2 la a doua, mai în față 2 la a treia, 2 la a patra, 2 la a cincea, 2 la a șasea și 2 la a șaptea.

Deja am făcut această discuție exact pe aceste numere.

Acum, dacă am avea o altă bază, de exemplu baza 3, care se mai numește și baza ternară, ce simboluri vom avea?

Păi în baza 10 am avut cifrele de la 0 la 9, toate cifrele, iar aici avem doar cifrele 0 și 1.

Pentru baza 3 avem nevoie de 3 simboluri, deci cifrele 0, 1 și 2.

Aici e simplu, însă ce se petrece când vrem să discutăm de un sistem care are mai mult de 10 simboluri?

Ei bine, și un sistem de care merită să amintim este sistemul de numerație în baza 16, adică sistemul hexazecimal.

El se folosește în domeniul calculatoarelor și haideți să vedem care sunt simbolurile care apar aici.

Avem nevoie de 16 simboluri.

Pe primele 10 deja le avem, avem cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Avem 10 simboluri și mai avem nevoie de încă 6.

Cu ce completăm?

Păi vom completa cu literele alfabetului, primele litere pe care le scriem cu majuscule A, B, C, D, E și F.

Acestea sunt simbolurile care se folosesc în sistemul hexazecimal.

E bine să înțelegem că toate acestea sunt doar niște simboluri.

Sunt de fapt niște construcții umane cu ajutorul cărora oamenii desemnează anumite cantități.

Dacă de exemplu eram obișnuiți cu sistemul hexazecimal, dacă am fi mers la magazin am fi spus că am cumpărat amare caiete sau ce mare pixuri.

Acum ce valori reprezintă aceste simboluri raportat la sistemul de numerație decimal pe care îl folosim de obicei?

Păi primele 10 simboluri au aceeași valoare ca și în sistemul decimal.

Iar acestea care urmează, litera A desemnează numărul 10 din sistemul decimal, B numărul 11, C numărul 12, D numărul 13, E numărul 14 și în final F desemnează numărul 15 din baza 10.

Deci numărul 163 se scrie sub această formă în sistemul decimal.

Se notează sub o altă formă în sistemul binar și să știți că în sistemul hexazecimal era de această formă A3.

Deci iată că de fapt acesta A3 chiar este un număr în baza 16.

Cum verificăm? Haideți să notăm aici 16 ca să arătăm că este în baza 16.

Cum verificăm că A3 reprezintă chiar numărul 163 din baza 10?

Vom proceda ca și la baza 2, ca și în sistemul binar.

Adică începem cu ultimul simbol de aici, adică 3, pe care îl înmulțim cu puterea 0 a lui 16, adică 16 la 0.

Apoi trebuie să trecem aici valoarea corespunzătoare lui A, adică 10, înmulțit cu următoarea putere a lui 16, adică 16 la 1.

Ne oprim pentru că nu mai avem ce să adăugăm, nu mai avem aici niciun simbol.

Și vom obține 3 înmulțit cu 16 la 0 înseamnă 1, deci 3 ori 1, 3, plus 10 ori 16, adică 160.

Iată că avem numărul 163, atenție, în baza 10.

Nu e neapărat nevoie ca să ne apară tot timpul și litere.

De exemplu, numărul 190, de fapt nu se citește așa 190, ci citim 190 în baza 16, este egal cu, și vrem să vedem ce număr reprezintă în baza 10.

Păi avem 0 înmulțit cu 16 la 0, adunat cu 9 înmulțit cu 16 la 1, adunat mai departe cu 1 înmulțit cu 16 la a doua.

Și vom avea așa, 0 ori orice număr ne dă 0 plus 9 ori 16 la 1, adică 144 adunat cu 1 ori 16 la a doua ne dă 256, deci plus 256.

Și am obținut, facem aici suma și obținem 400.

Iată că avem de fapt numărul 400 în baza 10, sau invers, altfel spus 400, numărul 400 din baza 10 se scrie sub forma 190 în baza 16.

Acum haideți să vedem cum facem invers, adică ni se dă un număr în baza 10, de exemplu 237 în baza 10 și vrem să îl scriem în baza 16.

Păi, cum arată un număr scris în baza 16? Haideți să notăm aici alături.

Deci, deasupra acestor liniuțe avem unul din aceste simboluri și avem aici 16 la 0, adică această cifră, să spunem, acest simbol este simbolul unităților.

Aici avem 16 la 1, 16 la 2, 16 la 3, 16 la 4, 16 la 5 și așa mai departe, dacă este cazul.

Bun, pe 237, ca să îl scriem în baza 16, trebuie să îl scriem sub această formă.

Deci, avem nevoie de unul din aceste simboluri pe care îl înmulțim cu 16 la 0 adunat cu unul din aceste simboluri înmulțit cu 16 la 1 plus și așa mai departe până obținem numărul 237.

Deci, e clar că trebuie să îl scriem folosindu-ne de puterile lui 16.

Păi, haideți să vedem care sunt aceste puteri.

Și avem aici 16 la 0 este 1, 16 la 1 ne dă 16, 16 la 2 ne dă 256, 16 la 3, deja e un număr mare, ne dă 4096.

Păi, e clar că pe 237 nu îl putem scrie nici în funcție de 16 la 3, nici în funcție de 16 la 2, că ne dă 256, e prea mare.

Deci, îl scriem în funcție de 16.

Ce avem de făcut?

Deci, pe 237 vrem să îl scriem ca un număr, de fapt, unul din aceste simboluri înmulțit cu 16 la 1.

Și ce obținem aici trebuie să fie un număr apropiat de 237 și mai mic decât el.

Păi, pentru aceasta, cea mai simplă variante e să îl împărțim pe 237 la 16.

Și ce vom obține?

Facem împărțire cu rest.

Avem așa, 1 x 16, 16, vom obține aici 7, aici nimic, coborâm pe 7 și intră de 4 ori.

4 x 16 ne dă 64, facem scăderea, obținem aici 3 și 1.

Deci, obținem 14 rest 13.

Cu alte cuvinte, 237 se scrie ca fiind 14 x 16.

Deci, haide să ștergem aici liniuța.

Și avem 14 înmulțit cu 16 la 1 adunat cu restul care e 13.

Nu am făcut nimic altceva decât să scriem teorema împărțirii cu rest.

L-am împărțit pe 237 la baza în care lucrăm, adică baza 16.

Bun, acum, pe 13 nu îl putem scrie în funcție de 16 la 1, dar îl putem scrie în funcție de 16 la 0,

că avem aici 13 x 1, adică 13 x 16 la 0.

Și ce am obținut?

Iată, exact simbolurile pe care le căutam.

Pe ultima poziție avem 13, deci aici și corespondentul lui 13 în baza 16 este D, deci notăm D mare.

Pentru 16 la 1 pe această poziție avem 14, adică E mare.

Și pe restul le putem șterge pentru că deja nu mai avem nevoie.

Iată că numărul pe care l-am obținut este E mare D mare,

deci putem să venim aici să scriem egal mai departe cu E mare D mare în baza 16.

Astfel se scrie numărul 237 din baza 10.

Încă un exemplu.

Haideți să luăm acum un număr mai mare și să luăm numărul 1218 scris în baza 10. Bun.

Îl putem scrie în funcție de 16 la a treia, nu pentru că e prea mare, dar putem scrie în funcție de 16 la a doua.

Deci pe 1218 îl vom împărți la 256.

Și vom avea 1218 împărțit la 256.

Să încercăm de 4 ori.

4 ori 6 ne dă 24, 4 ori 2 în minte, 4 ori 5 20 cu 2 din minte 22.

Deci 2 și cu 2 în minte, 4 ori 2 ne dă 8 cu 2 10.

Deci ne dă 1024.

Bun.

Facem acum scăderea, obținem 4 aici și vom avea 11 minus 2 adică 9 și aici ne rămâne 1 aici nimic.

Deci avem 4 rest 190 și 4.

Bun.

Deci vom avea 4 înmulțit cu 256 care este 16 la a doua.

Adunat cu restul care este 194.

Acum pe 194 trebuie să îl scriem în funcție de 16.

Deci nu în funcție de 256 pentru că e prea mare.

Deci avem 194 îl împărțim acum la 16.

Și avem 19 împărțit la 16.

Și avem odată, obținem restul 3 coborând pe 4.

E clar că avem de 2 ori, 2 ori 16, 30 și 2.

Facem scăderea și ne dă 2.

Deci 12 rest 2.

Venim și notăm, avem așa 4 ori 16 la a doua plus.

În loc de 194 notăm 12 înmulțit cu 16 la a întâia.

Adunat cu restul care este 2.

Pe care îl putem scrie 2 ori 16 la 0.

Și ce am obținut?

Păi avem exact aceste simboluri.

Avem 4, 12 și 2.

Adică avem aceste poziții.

Haide să notăm aici.

16 la 0, 16 la întâia, 16 la a doua.

Pe ultima poziție avem 2.

Pe cea din mijloc avem 12.

Correspondentul său este C.

Și pe prima poziție avem 4.

Deci 4C2.

Putem să notăm aici, egal cu 4C2.

Deci 4C2 în baza 16.

Iată că 1218 din baza 10 se scrie sub această formă în baza 16.

Am învățat cum să transformăm un număr din baza 16 în baza 10,

dar și invers din baza 10 în baza 16.