Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N

1. Orice număr natural n se divide cu 1 și cu el însuși.

$n⋮n, n⋮1$

2. Tranzitivitatea relației de divizibilitate. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c.

$a⋮b, b⋮c\Rightarrow a⋮c$

3. Fie a și b două numere naturale. Dacă a divide pe b, atunci a divide orice multiplu al lui b.

$\overline{)a } b\Rightarrow \overline{)a } bk, k\in \mathrm{\mathbb{N}}$

4. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide suma, diferența și produsul numerelor b și c.

$$\begin{gathered} \overline{)a } b, \overline{)a } c\Rightarrow \overline{) \overline{)a } b+c \\ \overline{)a } b-c \\ \overline{) a } b·c} \end{gathered}$$

5. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a divide pe b, c divide pe b, iar a și c sunt numere prime între ele, atunci produsul ac divide pe b.

$\overline{)a } b, \overline{)c } b, (a,c)=1\Rightarrow \overline{)ac } b$

6. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci a = b.

$a⋮b, b⋮a\Rightarrow a=b$

7. Numărul 0 este divizibil cu orice număr natural nenul.

$0⋮n, \forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

• Un număr natural se numește număr prim dacă se divide numai cu 1 și cu el însuși (are exact doi divizori). Un număr natural care nu este prim se numește număr compus.
• Două numere naturale a și b se numesc prime între ele, dacă cel mai mare divizor comun al acestora este 1: (a,b)=1.