Ridicarea la putere a fracțiilor zecimale

Haideți să facem în continuare câteva exerciții cu ridicarea la putere, atâta timp cât avem un exponent natural,

iar baza este o fracție decimală, mai exact o fracție decimală finită, că aici avem 1,4 la a doua.

Cu cât este egal această putere?

Păi noi deja am întâlnit, am rezolvat exerciții cu puteri de numere naturale când aveam exponentul număr natural și baza a tot număr natural.

Păi știm că exponentul ne arată numărul de factori pe care îl avem în produsul respectiv.

Cum aici avem exponentul 2 înseamnă că avem 2 factori, ambii egal cu 1,4.

Deci avem produsul 1,4 înmulțit cu 1,4.

Este egal cu, și facem înmulțirea, 1,4 × 1,4.

4 × 4, 16, scriem 6, 1 în minte, 4 × 1, 4, 1 din minte, 5.

1 × 4, 4, 1 × 1, 1.

Însumăm, avem 6, 9 și 1.

Câte decimale avem în total?

Păi avem o decimală cu încă una, deci două decimale.

Atunci, de la dreapta către stânga numărăm două cifre, una, două, și trecem virgula aici, 1,96.

Și iată că am făcut acest calcul.

Alt exemplu, 0,5 la puterea a doua.

Să vedem cu cât este egal.

Păi 0,5 înmulțit cu 0,5 va fi,

haide să scriem aici că avem 0,5 × 0,5.

Avem un produs de doi factori, ambii egal cu 0,5.

5 × 5, 25, deci 5 și 2 în minte.

5 × 0, 0 cu 2 din minte, 2.

0 × 5, 0, 0 × 0, 0.

Avem aici 5, aici 2, aici 0.

Avem două decimale în total, deci numărăm două cifre, una, două, și trecem virgula aici, 0,25.

Și putem să continuăm, putem să facem și 0,5 la treia.

Cât vom avea?

Păi înseamnă că avem acum trei factori, toți egali cu 0,5.

Deci 0,5 × 0,5 înmulțit mai departe tot cu 0,5.

Și vom avea, păi deja acest produs știm cât este, avem 0,25 înmulțit mai departe cu 0,5.

Păi haide să calculăm.

Deci avem 0,25, haide să șterg acest 5 să-l trecem aici,

înmulțit cu 0,5.

Și facem calculul.

5 × 5 ne dă 25.

Descriem 5, 2 în minte, 5 × 2, 10, cu 2 din minte, 12.

Deci trecem 2, ținem 1 în minte.

5 × 0, 0, cu 1 din minte, 1.

Și aici e simplu pentru că avem 0 înmulțit cu toate aceste cifre.

0 × 5 ne dă 0.

Urmează 0 × 2, 0.

0 × 0, 0.

Și avem 5, 2, 1, 0.

Câte decimale avem acum în total?

Păi 1, 2, 3.

Deci numărăm 3 cifre.

1, 2, 3.

Și aici trecem virgula.

Avem 0,125.

Evident că putem să continuăm.

Putem să facem și 0,5 la a patra.

Deci avem un produs acum de 4 factori, pentru că exponentul este 4.

Și toți factorii sunt egal cu 0,5.

Deci 0,5 înmulțit cu 0,5, înmulțit tot cu 0,5 și încă o dată cu 0,5.

Iată, avem 1, 2, 3, 4 factori.

Rezultatul va fi 0,0625.

Acum, haideți să scriem și regula, pentru că e ușor să scriem o asemenea regulă.

Deja o cunoaștem de la numere naturale.

Deci, dacă x este un număr decimal sau o fracție decimală finită,

și avem aici n, un număr natural diferit de 0,

ce înseamnă x la exponentul n?

Păi înseamnă că avem un produs de n factori, toți egali cu x.

Deci x înmulțit cu x, înmulțit și așa mai departe cu x.

Și haideți să notăm că avem aici n mic factori.

Bun, și regulă de calcul cu puteri pe care le-am învățat de la numere naturale,

să știți că se aplică și în această situație în care baza este o fracție decimală.

Păi haideți să ne le amintim rapid.

Dacă avem x, o fracție decimală, și să considerăm că m este un număr natural.

Și mai avem și această putere, x la puterea n, n număr natural.

Păi ce se întâmplă când înmulțim două puteri care au atenție aceeași bază?

Păi facem exact ca la numere naturale, adică vom scrie baza care este x,

iar exponenții îi adunăm, m plus n.

Dacă avem împărțire, adică x la m împărțit la x la n.

Păi din nou vom scrie baza care este x și acum având împărțire scădem exponenții,

deci m minus n.

Și considerăm că m este mai mare sau egal cu n,

ca în urma acestei scăderi să obținem aici un număr natural.

Bun, altă regulă, x la m totul la n.

Păi dacă vă amintiți, v-am spus că atunci când întâlnim aceste paranteze,

înseamnă că înmulțim exponenții, deci x la m ori n.

Sau dacă avem acum două numere decimale, x și y,

și avem x la m înmulțit cu y la același exponent m.

Păi în această situație putem să facem mai întâi produsul x ori y

și apoi rezultatul să ridicăm la exponentul m,

ca să nu facem două ridicări la putere.

Sau dacă avem împărțire, adică x la m împărțit la y la e,

cum facem? Facem mai întâi împărțirea, x împărțit la y

și vom ridica totul la exponentul e.

Sigur, avem acum și câteva observații.

Aceste observații le-am făcut și la numere naturale,

deci doar le reamintim, nu vom mai da explicații.

Am explicat acolo intuitiv de ce au loc anumite egalități.

Prima egalitate, x la 1 este egal cu x.

A doua, x la 0 este egal cu 1,

deci atunci când ridicăm un număr la exponentul 0, obținem 1,

atâta timp, atenție, cât x nu este 0.

Ce se întâmplă însă când x este 0, adică avem situația 0 la 0?

Această operație nu are sens.

Bun, acestea au fost în mare regulile,

haideți să le aplicăm.

Care variante sunt corecte?

Și avem aici la exercițiu 1,

avem varianta A și varianta B

și vrem să vedem care este cea corectă.

0,1 la a doua, înmulțit cu 0,1 la a treia,

ne dă oare 0,1 la 2 ori 3?

Deci aici avem un produs de două puteri,

care au aceeași bază.

Păi ce facem cu exponenții?

Că vedem baza apare aici,

iar exponenții se adună, avem 2 plus 3.

Aici avem 2 ori 3, deci această variantă nu e corectă,

însă aici, iată, avem același exercițiu

și avem adunați cei doi exponenți.

Deci putem să notăm că varianta corectă este varianta B.

Aici, la al doilea exercițiu,

avem 5,7 la opta, împărțit la 5,7 la a doua.

Deci din nou avem două puteri,

care au aceeași bază și între ele avem operația de împărțire.

Păi este oare egal cu 5,7 la 8 minus 2?

Scădem exponenții?

Sigur, îi scădem, în timp ce la înmulțire

observăm că adunăm exponenții.

Deci această variantă este într-adevăr corectă.

Haideți să notăm. Ce aveam aici?

Observam că aveam împărțire între cei doi exponenți,

ceea ce este fals.

Exponenții în această situație se scad.

1,3 la a patra, totul la a cincea.

Păi ce facem cu exponenții?

Îi înmulțim. Iată, avem 1,3 la 4 ori 5.

Deci această variantă e corectă, în timp ce aici ce aveam?

Aveam adunare, 4 plus 5, ceea ce este fals.

0,1 la a doua adunat cu 0,1 la a treia.

Ce observăm?

Avem aici o sumă de puteri care au aceeași bază.

Păi ne dă oare 0,1 la a cincea?

Adică adunăm acești doi exponenți?

Nu. Unde îi adunăm?

Îi adunăm dacă aveam aici produs.

Exact ca în această situație.

Însă atunci când avem adunare, mai întâi trebuie să rezolvăm,

trebuie să facem fiecare ridicare la putere în parte.

Adică 0,1 la a doua să vedem cât este

și apoi să vedem cât e 0,1 la a treia și facem suma.

Păi haide să vedem a doua variantă.

0,1 la a doua de fapt ne dă 0,01

iar 0,1 la a treia ne dă 0,001

și apoi se face suma și obținem 0,011.

Deci varianta corectă este aceasta.

În cazul scăderii avem 0,1 la a doua minus 0,1 la a treia.

Ce facem? Notăm baza și scădem exponenții?

Nu, nici nu putem să facem 2 minus 3 în mulțimea numelor naturale.

Deci, tot așa, trebuie mai întâi să rezolvăm separat fiecare putere în parte.

Adică 0,1 la a doua ne dă ce este aici,

0,1 la a treia obținem un număr mai mic, 0,001

și apoi facem diferența și obținem acest rezultat.

Deci, din nou, varianta corectă este, ca mai sus, tot varianta B.

Alt exercițiu.

Să scriem rezultatul sub formă de putere.

Și avem 1,4 la a doua înmulțit cu 1,4 la a șasea.

Avem aici două puteri care au atenție aceeași bază

și între cele două puteri avem operație de înmulțire.

Ce facem? Copiem baza care este 1,4 și exponenții îi adunăm

pentru că avem aici înmulțire, deci 2 plus 6

și vom obține 1,4 la a opta.

Următorul exercițiu.

1,8 la 2015 împărțit la 1,8 la 2013.

Păi, din nou, avem două puteri cu aceeași bază

și avem împărțire între ele.

Deci, copiem baza, adică 1,8

și ce facem cu exponenții? Îi scădem.

Avem 2015 minus 2013,

deci 1,8 la puterea a doua.

Alt exercițiu.

2,5 la a patra înmulțit cu 2,5 la a treia împărțit la 2,5 la a cincea.

Păi, toate aceste trei puteri au aceeași bază.

Ce operații observăm că avem?

Avem înmulțire urmată de o împărțire.

Păi, asta înseamnă că putem să facem calculul direct.

Și anume, copiem baza, 2,5,

având aici operație de înmulțire,

ce facem cu acești două exponenți?

Îi adunăm.

Deci, avem 4 plus 3

și având aici operație de împărțire,

ce vom face?

Păi, dacă avem această putere împărțită la 2,5 la a cincea,

practic, din această sumă, trebuie să scădem acest exponent 5

și facem calculul 2,5 la ce putere?

4 cu 3, 7 minus 5 ne dă 2.

Avem acum 1,5 la a doua

înmulțit cu 1,5 la a treia,

totul la a patra împărțit la 1,5 la a zecea.

Păi, haideți mai întâi să ne ocupăm de efectuarea acestui calcul

pentru că trebuie să vedem care este de fapt exponentul.

Deci, 1,5 la a doua copiem,

înmulțit cu 1,5 la ce putere?

Păi, având aici 1,5 la a treia, totul la a patra,

înseamnă că înmulțim acești două exponenți

și avem 3 ori 4, deci 12,

împărțit la 1,5 la a zecea.

Din nou, avem puteri care au aceeași bază,

avem aici înmulțire urmată de împărțire.

Deci, notăm direct, avem 1,5,

avem 2 adunat cu 12 pentru că aici avem înmulțire,

minus, scădem acest exponent pentru că aici avem împărțire.

Și vom obține 1,5 la 2 cu 12,

înseamnă 14 minus 10, deci obținem 4.

Ultimul exercițiu, să calculăm 2,4 la a cincea,

împărțit la 1,2 la a cincea.

Avem acum puteri care au aceeași bază?

Nu, însă avem același exponent.

Asta înseamnă că putem să folosim o altă regulă de calcul cu puteri, și anume,

vom face această împărțire între cele două baze,

adică 2,4 împărțit la 1,2,

iar rezultatul ridicăm la exponentul 5,

care apare la ambele puteri.

Și avem, aici obținem 2 la 5,

adică avem un produs de 5 factori,

toți egali cu 2, deci obținem 32.

0,28 la a doua împărțit la 0,7 la a doua.

Păi avem tot o împărțire între puteri care, atenție, au același exponent.

Deci facem împărțirea bazelor,

0,28 împărțit la 0,7,

totul la exponentul 2.

Vom obține aici 0,4 la a doua,

care ne dă 0,16.

Sigur, această regulă are loc și în situația în care

între cele două puteri care au același exponent,

avem operație de înmulțire.

Cu aceasta am încheiat.