Ordinea efectuării operațiilor cu fracții (numere) zecimale

Să efectuăm acum câteva exerciții în care vom aplica ordinea efectuării operațiilor cu numere decimale.

Și avem acest exercițiu, 5,21 împărți la 10, adunat cu 1,1 la a doua, adunat cu 1,3 ori 2, minus 0,7.

Ei bine, ordinea efectuării operațiilor cu numere decimale este aceeași cu cea pe care am învățat-o la numere naturale.

Acum, dacă vrem să ne jucăm puțin, putem să ne imaginăm că acest exercițiu se află la mansarda unei case și noi vrem să ajungem la parter, aici unde este ieșirea, cu rezultatul corect.

Acum, ca să ajungem de la mansarda la ieșire, mai întâi trebuie să coborâm la etajul al treilea, unde vom efectua ridicările la putere.

Apoi vom coborâ la următorul etaj, la etajul al doilea și efectuăm înmulțirile și împărțirile și în final la etajul întâi efectuăm adunările și scăderile, iar apoi vom obține rezultatul corect.

Acum, haideți să ne reamintim că ridicările la putere sunt operații de gradul al treilea, în timp ce înmulțirile și împărțirile sunt operații de gradul al doilea, în timp ce adunările și scăderile sunt operații de gradul întâi.

Să trecem acum la rezolvarea exercițiului nostru, deci avem 5,21 împărțit la 10 adunat cu 1,1 la pătrat plus 1,3 ori 2 minus 0,7.

Mai întâi efectuăm ridicările la putere. Unde avem ridicare la putere? Iată, doar aici, 1,1 la a doua.

Restul vom copia, deci notăm egal mai departe cu 5,21 împărțit la 10 adunat cu, trebuie să facem calculul acestei puteri, deci 1,1 la a doua înseamnă 1,1 înmulțit cu 1,1 și facem produsul.

1 ori 1 ne dă 1, 1 ori 1, 1. La fel și aici, 1 ori 1, 1, 1 ori 1, 1. Însumăm, avem 1, 2, 1. Câte decimale avem aici în total? 2, 1, 2.

Deci de la dreapta către stânga numărăm două cifre, 1, 2. Rezultatul este 1,21.

Haideți să ștergem ca să avem spațiul, deci notăm 1,21 adunat cu 1,3 ori 2, minus 0,7.

Mai avem de făcut o ridicare la putere? Nu.

Avem acum de făcut înmulțirile și împărțirile. Păi haideți să vedem, avem această împărțire și această înmulțire.

Deci, 5,21 împărțit la 10, fiind o împărțire la 10, virgula se va muta spre stânga peste atâtea cifre câte 0-uri are această putere a lui 10.

Păi avem aici un 0, deci vom avea 0,521, a mutat virgula peste o cifră, adunat cu 1,21+.

1,3 ori 2, putem să facem direct, 2 ori 3 ne dă 6, 2 ori 1 ne dă 2, avem o decimală, deci trecem virgula între 2 și 6, minus 0,7.

Nu mai avem decât adunări și scăderi. Avem o scădere și două adunări.

Păi haideți să facem calculul.

Mai întâi putem să facem toate aceste adunări. 0,521 vrem să-l adunăm cu 1,21.

La adunare, ca și la scădere, atenție, trecem virgula sub virgula.

Și acum însumăm.

Ca să avem același număr de decimale, putem să trecem aici un 0, și avem 1 cu 0, 1, 2 cu 1 ne dă 3, 5 cu 2, 7, cobor în virgula, 0 cu 1, 1.

Adunăm acum și cu 2,6, plus 2,6.

Cu câte 0-uri trebuie să completăm acum acest număr? Cu 2, pentru că aici avem 3 decimale, aici aveam doar una.

Și adunăm. 1 cu 0, 1, 3 cu 0, 3, 7 cu 6, 13. Scriem 3 și 1 în minte.

2 cu 1, 3 cu 1 din minte ne dă 4, și să trecem și virgula.

4,331, din care scădem 0,7.

Păi putem să facem diferența și aici, minus 0,7.

Tot așa, trebuie să completăm cu 2 0-uri și scădem.

1 minus 0, 1, 3 minus 0, 3.

În loc să facem 3 minus 7, trebuie să facem 13 minus 7, ne împrumutăm de aici și avem 6.

Aici ne rămâne 3, 3 minus 0, 3 și cobor în virgula.

Deci, rezultatul este, haideți să-l scriem aici, 3,631.

Haideți să mai facem un exercițiu.

În acest exercițiu ne apar și paranteze.

Și deja știm care este ordinea efectuării operațiilor când avem și paranteze.

Este aceeași ca și la numere naturale.

Cu alte cuvinte, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde,

apoi din cele pătrate și în final din acolade, dacă avem.

În fiecare paranteză în parte, efectuăm mai întâi ridicările la putere,

apoi înmulțirile și împărțirile în ordinea în care sunt date în exercițiu,

și în final adunările și scăderile, tot așa în ordinea în care sunt date în exercițiu.

Deci mai întâi noi trebuie să efectuăm calculul din paranteza rotundă.

Iată, din această paranteză.

Haideți să citim.

3,14 împărți la 100 adunat cu 2 înmulțit.

Deschidem paranteza pătrată și cea rotundă.

1,8 împărți la 0,3 minus 4 ori 0,01 plus 0,2 la pătrat.

Închidem paranteza rotundă.

Împărți la 3 minus 1 și închidem și paranteza pătrată.

Să știți că înainte să facem calculul din paranteza rotundă,

mai putem să facem și alte calcule.

În exercițiul nostru putem să facem această împărțire.

Rezolvarea ei nu afectează cu nimic exercițiul nostru.

După aceea o să ne ajute în a câștiga timp în rezolvarea acestui calcul.

Deci facem mai întâi această împărțire.

3,14 împărți la 100.

Virgula se mută către stânga peste două cifre.

Deci avem aici o cifră, încă una virgula va fi aici.

Și restul completăm cu zerouri.

Deci haideți să notăm.

Avem 0,0314 adunat cu 2 înmulțit cu

deschidem paranteza pătrată și pe cea rotundă.

Cu ce vom începe aici?

Vom începe cu ridicările la putere.

Deci 0,2 la pătrat.

Și să calculăm 0,2 înmulțit cu 0,2.

2 x 2, 4.

2 x 0, 0.

0 x 2, 0.

0 x 0, 0.

Avem 4, 0, 0.

Avem două decimale, deci numărăm două cifre.

O cifră, încă una.

Deci avem 0,04.

Restul copiem, 1,8 împărțit la 0,3

minus 4 înmulțit cu 0,01

adunat cu ce am obținut aici, 0,04.

Închidem paranteza rotundă,

trecem împărțit la 3 minus 1

și închidem și paranteza pătrată.

Acum, să știți că deja de la început

mai putem să facem în această paranteză

și alte calcule.

Adică putem să trecem direct

rezultatul acestei împărțiri

precum și rezultatul acestei înmulțiri.

Însă putem să le facem acum.

Avem 0,0314 plus 2 înmulțit cu

paranteza pătrată, paranteza rotundă.

1,8 împărțit la 0,3.

Pentru că observăm acum,

nu ne-au mai rămas de făcut decât înmulțirile

și împărțirile, iar apoi adunările și scăderile.

Deci, 1,8 împărțit la 0,3.

Trebuie să facem în așa fel încât

împărțitorul să fie număr natural.

Deci, îl înmulțim cu 10 și

vom avea împărțitorul 3.

Dacă l-am înmulțit cu 10,

înseamnă că și pe 1,8 trebuie să îl înmulțim

tot cu 10 și obținem 18.

18 împărțit la 3 ne dă 6,

deci venim și notăm aici

6 minus

4 ori

0,01

deci 0,01 ori 4.

Avem 4,

0,0

două decimale,

trecem virgula aici, deci rezultatul este

0,04

plus 0,04

închidem paranteza rotundă

pe cea pătrată,

paranteza pătrată încă nu o închidem,

deci avem împărțit la 3,

minus 1 și acum închidem paranteza pătrată.

Haideți să terminăm

calculul din această paranteză.

Avem 0,0314

plus 2 înmulțit cu

dacă din 6

scădem un număr și apoi adunăm

același număr, pentru că observăm

avem 0,04 și aici

și aici, atunci ne va da 6.

Spunem că

acești doi termeni se

reduc. Bun.

Și obținem 6

paranteza rotundă

va dispărea, deci ne rămâne

doar cea pătrată care devine

paranteza rotundă și avem 6

împărțit la 3, minus 1.

Avem 0,0 314

plus 2 înmulțit cu

facem direct 6 împărțit la 3

ne dă 2

2 minus 1 ne dă 1

păi 2 ori 1 este 2

deci ne rămâne 0,0

314 plus 2

facem direct

calculul sau haide să scriem

totuși 0,0

314 plus 2

la 2 completăm aici

cu 0-uri, 4 0-uri

și rezultatul

este 2,0

314

2,0 314

ultimul exemplu

acest exercițiu

pare mai complicat, avem mai multe numere

însă să știți că e foarte simplu

și avem 2,5 împărțit la 0,4

plus 5 înmulțit cu

le schidem acolo

30,2 împărțit la 10

minus 1,2 la pătrat

ori 1,2 la 5

am părțit la 1,2

totul la a doua, totul la a treia

adunat cu 0,046

înmulțit cu 100

acum ne apare aceasta

acoladă, pentru că iată aici sunt folosite

și paranteza

rotundă și paranteza pătrată

uneori puteți să întâlniți

și în această situație 1,2

scris cu paranteza rotundă

și apoi la pătrat sau puteți

să îl întâlniți cum n-am scris aici

când avem această situație în care

avem două puteri, atunci

mai degrab o să-l găsiți în culegeri

scris sub această formă

bun, mai întâi efectuăm

calculul din acoladă

însă observăm că putem să facem

și această împărțire

nu afectează cu nimic calculul nostru

deci egal mai departe

facem împărțirea

2,5 împărțit

la 0,4

ca împărțitorul să fie

număr natural trebuie să-l înmulțim

cu 10, 0,4

ori 10 ne dă 4

2,5 înmulțit

tot cu 10 ne dă 25

și făcând împărțirea vom obține

6,25

deci venim și notăm aici

6,25

adunat cu 5

înmulțit cu, în acoladă

trebuie să efectuăm mai întâi ridicările

la putere, deci

vom copia până aici

30,2

împărțit la 10 minus

avem 1,2

la pătrat, 1,2

la a5-a și 1,2 la a2-a

totul la a3-a, sigur

regula ne spune că trebuie să efectuăm

mai întâi ridicările la putere

însă ce observăm?

avem peste tot puteri

cu aceeași bază și mai mult între ele

avem operație de înmulțire, respectiv

împărțire, ce înseamnă asta?

că aplicăm regulile de calcul

cu puteri, deci

efectuăm acest produs și apoi această

împărțire, înainte însă

să vedem care este exponentul acestei puteri

avem 1,2 la 2

la a3-a, adică la a6-a

aici facem produsul și

copiem baza

1,2 la exponentul

2 plus 5

împărțit la

1,2 la a6-a, deci avem

1,2 la a7-a

minus

exponentul 6

și obținem 1,2 la a1-a

adică ne dă 1,2

deci venim aici și notăm

minus 1,2

și restul putem să ștergem

haide să ștergem

și împărțirea

adunat cu

0,046

înmulțit cu 100

acolada devine acum

paranteză rotundă

deci putem să o ștergem și

de aici și trecem paranteză

rotundă

ce calcule facem acum?

putem oare să facem această

adunare înainte să facem calculul

din paranteză?

cum am făcut aici această împărțire?

nu, pentru că nu putem să adunăm

acest număr cu 5

deoarece 5 e face parte

din acest produs, avem 5

oriceva și mai întâi trebuie să

calculăm acel ceva, facem

produsul și apoi adunăm cu 6,25

deci

copiem momentan

5 înmulțit cu

și facem calculul din paranteză, ne ocupăm

de această împărțire și de

înmulțire, 30,2

împărțit la 10 ne dă

3,02 minus

1,2 adunat cu

aici mutăm virgula peste două

cifre către dreapta

deci obținem 4,6

și

facem calculul de aici

dar înainte haide să copiem restul

plus 5 ori

3,02 minus

1,2

completăm aici cu 0

avem 2, 10 minus 2 ne dă

8, 2 minus 1, 1

adunat cu

4,6

completăm cu 0, obținem

2, 8 cu 6, 14

4 și 1 în minte

4 cu 1, 5 cu 1 din minte

6, coborăm și virgula

deci obținem 6,42

și trebuie să facem acum această

înmulțire, deci înmulțim

și cu 5

5 ori 2, 10 ne dă 0

și 1 în minte, 5 ori 4, 20

cu 1 din minte, 21

deci trecem 1 și reținem

2 în minte, 5 ori 6, 30

cu 2, 32

avem 2, 10 minus

asta înseamnă că aici numărăm

de la dreapta către stânga

două cifre, deci

avem 6,

25

adunat cu 32

virgula 10, adică 32

virgula 1, păi haide

să facem calculul, practic

la acest număr trebuie să adunăm

6,25

să sperăm că avem

totuși spațiu

0 cu 5, 5

1 cu 2, 3, coborăm virgula

2 cu 6, 8

coborăm și pe 3, deci rezultatul

este 38

virgula 35