Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale. Periodicitate

Vom continua cu transformările de fracție ordinară în fracții decimale și am trecut aici în paranteză cuvântul periodicitate și o să vedem imediat ce înseamnă.

Și vrem să scriem pentru început ca fracție decimală această fracție ordinară 25 supra 3.

Pentru celelalte fracții ne întrebam pentru început să vedem dacă le putem simplifica sau amplifica în așa fel încât să obținem la numitor o putere a lui 10.

Însă, această fracție cum este? Este ireductibilă.

Asta înseamnă că nu ne rămâne decât să vedem dacă putem să o amplificăm cu un număr care înmulțit cu 3 să ne dea o putere a lui 10.

Păi nu există un asemenea număr natural.

Prin urmare, singura variantă de a scrie această fracție ordinară ca fracție decimală este de a îl împărți pe 25 la 3.

Și exact asta vom face.

Deci notăm aici 25 împărțit la 3 și vedem ce obținem.

Păi 3 intră în 25 de 8-ori, 8-ori 3, 20 și 4, facem scăderea și obținem 1.

Deci am obținut câtul 8 și restul 1.

Însă nu facem împărțirea cu rest, ci continuăm și vom nota aici.

Trecem primul 0 nesemnificativ, am ajuns în dreptul virgulei pe care nu o coborăm la rest, ci unde o trecem?

La cât?

Și la rest coborăm acest 0.

10 împărțit la 3, păi 3 intră în 10 de 3-ori, 3-ori 3 ne dă 9.

Bun, facem scăderea, vom obține aici 1.

Nu s-a terminat împărțirea, deci coborăm încă un 0.

Din nou, 10 împărțit la 3, păi tot de 3-ori, 3-ori 3 ne dă 9.

Facem din nou scăderea și obținem iarăși 1.

Păi mai coborăm încă un 0.

10 împărțit la 3, ne dă tot 3, 3-ori 3, 9, iarăși obținem 1.

Acum tot nu s-a terminat împărțirea, ar trebui să mai coborăm încă un 0.

Să știți că nu e neapărat nevoie să trecem 0-urile nesemnificative aici,

deci putem să trecem 0 fără să mai apară și aici.

Și din nou avem 10 împărțit la 3, iarăși ne apare 3, 3-ori 3 ne dă 9,

iarăși obținem 1 și așa mai departe.

Păi de fapt, ce observăm?

Întotdeauna aici o să ne rămână 1 și aici vom obține decima la 3.

Deci urmează 3, 3 și așa mai departe.

Acest număr observăm că nu este un număr decimal finit,

pentru că el are un număr infinit de decimale diferite de 0.

Decima la 3 se repetă la infinit.

Acest număr se numește număr decimal periodic.

Deci 8,333 și așa mai departe îl numim număr decimal periodic

sau fracție decimală periodică.

Ce înseamnă acum cuvântul periodic?

Periodic e ceva care se repetă și în această situație

perioada este reprezentată de cea mai scurtă secvență de cifre

care se repetă.

În acest caz nu vom spune că perioada este 333 sau numărul 33

ci perioada este 3.

Deci luăm cea mai scurtă secvență de cifre care se repetă și aici este 3.

Cum notăm acest număr?

Păi îl putem nota astfel, avem 8 virgulă și în această paranteză

vom trece acele cifre care alcătuesc perioada, în cazul nostru cifra 3.

Deci 8 virgulă perioadă 3 și înțelegem acest număr 8,333 și așa mai departe.

Ei bine, aceste numere care au perioada imediat după virgulă

se numesc numere decimale periodice simple.

Deci 8 virgulă perioadă 3 este un număr decimal periodic simplu

sau altfel spus, o fracție decimală periodică simplă.

O să vedem că există și numere care între virgulă și perioadă mai au și alte numere.

Acelea nu vor mai fi periodice simple.

Haideți să facem un alt exemplu.

94 supra 42

Ce putem să facem la această fracție?

Păi în primul rând observăm că numărătorul și numitorul sunt ambele numere pare.

Asta înseamnă că putem să simplificăm această fracție prin cât?

Prin 2.

De ce vrem să o simplificăm?

Pentru că vom obține numere mai mici și e mai ușor să lucrăm cu ele.

Și avem așa, 94 împărțit la 2 ne dă 47, 42 împărțit la 2 ne dă 21.

Fracția pe care am obținut-o, cum este?

Este ireductibilă.

Acum, oare putem să o amplificăm cu un număr

astfel încât la numitor să obținem o putere a lui 10?

Păi nu, pentru că 21 este un multiple de 3.

Deci nu există vreun număr natural care mulțit cu 21 să ne dea o putere a lui 10.

Atunci împărțim pe 47 la 21.

Și voi scrie împărțirea aici, 47 împărțit la 21.

21 intră în 47 de 2 ori, 2 ori 21 ne dă 42, facem scăderea, obținem aici 5.

Trecem virgulă și trecem primul 0 nesemnificativ.

Am ajuns în dreptul virgulei, o trecem la cât și coborăm la rest 0.

50 împărțit la 21.

Păi ce număr înmulțit cu 21 ne dă un număr apropiat de 50, dar mai mic decât el?

Păi 2.

2 ori 21 ne dă 42.

Dacă am fi trecut 3, obțineam 3 ori 21, 63 era prea mare.

Obținem aici 8.

Trecem următorul 0, deci 80 împărțit la 21.

De câte ori?

Păi de 2 ori e prea puțin, putem să trecem 3.

3 ori 21 ne dă 63.

Dacă am trece 4, am avea 4 ori 21, 84 ar fi prea mare.

Deci cel bun este 3.

10 minus 3, 7.

Aici ne rămâne 7 minus 6, 1, deci 17.

Coborâm încă un 0.

Nu mai e nevoie neapărat să îi scriem, deja am spus.

170 împărțit la 21.

Cât să trecem aici?

Păi putem să avem 8, 8 ori 1 ne dă 8, 8 ori 2 ne dă 16.

Obținem 168, e clar că acesta e cel mai apropiat, deci vom avea aici 2.

Coborâm acum 0.

20 împărțit la 21.

De câte ori intră 21 în 20?

Păi de 0 ori.

Deci venim și notăm 0 ori 21 ne dă 0.

Facem scăderea 20.

După ce am făcut diferența, procedăm cam mai înainte.

Coborâm următorul 0.

200 împărțit la 21.

Păi când am înmulțit pe 21 cu 8, am obținut 168.

Haideți să luăm acum 9.

9 ori 1 ne dă 9, 9 ori 2 ne dă 18.

Și vom obține aici 1, aici 1 și nimic.

11, coborâm 0.

110 împărțit la 21.

Păi dacă vom trece 4, vom avea aici 84.

Dar dacă trecem 5, 5 ori 1 ne dă 5 și 5 ori 2 ne va da 10.

Adică obținem numărul 105.

Bun, facem scăderea și vom obține aici 5, nimic și nimic.

Coborâm 0 și avem numărul 50.

50 împărțit la 21.

De câte ori intră?

Păi de 2 ori.

2 ori 21 ne dă 42.

Obținem aici 8.

Coborâm 0, 80.

Dar ce observăm?

Păi iată că dacă urmărim cu atenție împărțirea, aici am avut numărul 50.

Și l-am obținut pe 2.

După aia am obținut 80 și așa mai departe.

La fel s-a petrecut și aici.

Am obținut 50.

După aia era normal că vom obține 80 ca aici.

Vom obține apoi 170 și așa mai departe.

Deci care este perioada?

Păi în acest moment am avut aici decima la 2.

Va urma apoi decima la 3, decima la 8, 0 și așa mai departe.

De fapt, perioada este reprezentată de această secvență de cifre.

Pentru că din momentul în care am obținut 50 aici, cam mai sus,

vom obține din nou aceeași secvență de cifre.

2, 3, 8 și așa mai departe.

Deci venim și notăm că avem 2 virgulă și trecem cifrele care alcătuiesc perioada.

Din nou avem un număr decimal periodic simplu sau o fracție decimală periodică simplă.

Deci putem să venim aici și să notăm 2 virgulă și trecem numerele care sunt în perioada, cifrele care sunt în perioadă.

Și acest număr este tot un număr decimal periodic simplu sau o fracție decimală periodică simplă

pentru că, iată, perioada, oricât de multe cifre ar conține ea, este imediat după virgulă.

Deci avem un număr decimal periodic simplu.

Alt exemplu.

29 supra 6.

În primul rând vedem dacă această fracție se poate simplifica.

Păi 6 se împarte exact la 2 și la 3, 29 nu se împarte exact nici la 2, nici la 3, deci avem o fracție ireductibilă.

Asta înseamnă că facem direct împărțirea 29 împărțit la 6.

Și haide să notăm alături.

29 împărțit la 6.

Vedem cât obținem.

6 intră în 29 de 4 ori, 4 ori 6 ne dă 24, deci obținem aici 5.

Trecem virgula și trecem primul 0 nesemnificativ.

Virgula o trecem la cât și coboram acest 0.

50 împărțit la 6.

Păi 8, 8 ori 6 ne dă 48, deci obținem aici 2.

Coboram 0.

20 împărțit la 6, 6 intră în 20 de 3 ori, 3 ori 6 ne dă 18, facem diferența ne dă 2.

Din nou coboram 0.

20 împărțit la 6, tot 3, 3 ori 6 ne dă 18, iarăși vom obține 2 și așa mai departe.

Din nou vom avea 20, din nou vom scrie aici 3, din nou 3 ori 6 ne dă 18, iarăși vom obține 2, etc.

Deci, de fapt, care este numărul nostru?

Avem 4,83333 și așa mai departe, cifra 3 se repetă la nesfârșit.

Care este acum perioada?

Pentru că e clar că nu e un număr decimal finit, ci vorbim de un număr decimal periodic.

Cu alte cuvinte, care este cea mai scurtă secvență de cifre, de după virgulă, care se repetă?

Este cumva 83?

Păi dacă ar fi 83, am avea numărul 4,838383, da, deci perioada să fie 83.

Ceea ce nu e cazul nostru, pentru că noi, iată, avem 4 urmat de 8 și apoi cifra 3 se repetă.

De fapt, avem 4,8 perioadă 3.

Numărul 8, care se află între virgulă și perioadă, alcătuiește partea neperiodică.

Și aici nu avem un număr decimal periodic simplu, ci un număr decimal periodic mixt, sau o fracție decimală periodică mixtă.

Deci când între virgulă și perioadă avem și alte cifre, atunci obținem o fracție decimală periodică mixtă.

Un alt exemplu.

12 supra 55.

Mai întâi vedem dacă putem să simplificăm această fracție.

Păi 55 are ca divizor, sau se împarte exact la 5 și la 11.

12 nu se împarte exact nici la 5, nici la 11.

Deci e o fracție ireductibilă.

Atunci trecem direct la împărțire.

12 împărțit la 5, 10 și 5.

Bun, să facem împărțire alături.

12 împărțit la 55.

Păi ce observăm?

Că împărțim un număr mai mic la un număr mai mare.

Deci rezultatul va fi 0, ceva.

Pentru că 55 intră în 12 de 0, 0 ori 55 ne dă 0.

Facem diferența, obținem 12.

Trecem acum virgula și primul 0 nesemnificativ.

Virgula o vom trece la cât și coborăm acest 0.

120 împărțit la 55.

Păi ce număr înmulțit cu 55 ne dă un număr apropiat de 120, dar mai mic decât el?

2, pentru că 2 ori 55 ne dă 110.

Facem aici diferența și vom obține 10.

Coborăm 0.

100 împărțit la 55.

Păi dacă trecem din nou 2, vom avea aici 110.

E prea mare, atunci suntem nevoiți să scriem 1.

1 ori 55 ne dă 55.

Facem diferența, 100 minus 55 ne dă 45.

Coborăm 0.

450 împărțit la 55.

Păi ce număr înmulțit cu 55 se apropie de 450 și e mai mic decât el?

Păi dacă facem 55 ori 7.

Hai să scriem mulțire aici.

7 ori 5 ne dă 35, deci 5 trei în minte.

7 ori 5, 35 cu 3, 38, 385.

Dacă am face însă mulțirea cu 8, 55 înmulțit cu 8, atunci la acest rezultat, deci la 385, mai trebuie să adăugăm 55.

Și vom avea aici 0, aici 13 cu 1, 14 cu 1 în minte, 440.

E clar că acesta este cel bun.

Deci venim aici și notăm că obținem numărul 8.

Și să ștergem aici.

8 ori 55 era 440.

Obținem aici 10.

Bun, din nou coborăm 0 și observăm că avem 100 împărțit la 55 odată.

1 ori 55 ne dă 55, facem diferența, obținem 45.

Coborăm 0, însă iată că de fapt 450 deja l-a obținut semn.

Dacă privim cu atenție împărțirea, de la ce pas observăm că numerele încep să se repete?

Păi de aici.

Am avut 100, apoi 450, iarăși avem 100, iarăși 450.

Când am obținut numărul 100, am obținut aici decima la 1.

Pentru că 1 ori 55 ne-a dat 55.

După aia la 450 am obținut decima la 8.

La 100 din nou am obținut 1.

La 450 din nou vom obține 8.

După aia va urma din nou 1, din nou 8 și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, care este perioada?

Perioada este 18.

Deci vom avea așa 0,2 perioadă 18.

Păi și acest număr pe care l-am obținut este tot un număr decimal periodic mixt.

Este o fracție decimală periodică mixtă, pentru că între virgulă și perioadă avem și alte numere.

Haideți acum să recapitulăm.

Atunci când ni se dă o fracție ordinară, de exemplu a supra b, oricare ar fi numitorul b, evident diferit de 0,

pentru a scrie această fracție ordinară ca fracție decimală, întotdeauna putem să împărțim numărătorul la numitor.

Când împărțim două numere naturale, ce putem să obținem?

Cu alte cuvinte, ce poate să fie câtul?

Păi avem două variante.

Fie vom obține un număr natural sau câtul poate să fie un număr decimal sau altfel spus o fracție decimală.

Acum, dacă obținem o fracție decimală, ce posibilități avem?

Păi fie vom obține o fracție decimală finită, fie una periodică.

Dacă cumva obținem periodică, atunci ea poate să fie simplă sau mixtă.

Și acum, haideți să dăm exemple.

Deci, când împărțim două numere naturale, putem să obținem fie un număr natural, aici nu vom da exemple,

fie o fracție decimală finită, adică un număr decimal finit.

Ce înseamnă?

Înseamnă că el este un număr care se scrie cu virgulă și are un număr finit de decimale nenule.

De exemplu, 1,205, avem un număr finit de decimale.

Sau putem să avem 134,39457, nu ne interesează cât de multe decimale avem,

important este că avem un număr finit de decimale diferite de zero.

Bun, dacă obținem o fracție decimală periodică simplă,

care sunt acele fracții decimale periodice simple?

Păi după virgulă urmează imediat perioada.

De exemplu, 24,349 sau 0,308.

Putem să trecem evident în perioadă oricât de multe cifre dorim.

O fracție decimală periodică mixtă.

Între virgulă și perioadă mai avem și alte cifre.

De exemplu, 0,12 perioadă 2015 sau 123,485 perioadă 3.

Deci când împărțim două numere naturale putem să obținem fie un număr natural,

fie o fracție decimală care poate să fie finită sau periodică simplă sau mixtă.

Acum, când împărțim două numere naturale și obținem o fracție decimală,

nu e întâmplător faptul că uneori obținem o fracție decimală finită

sau periodică simplă sau mixtă, ci acest lucru depinde de împărțitor.

Cu alte cuvinte, depinde de numitorul acestei fracții și poate că într-o altă secvență video vom detalia.

Adică vom vedea cum depinde câtul pe care îl obținem de forma numitorului.