Ridicarea la putere a fractiilor ordinare

RIDICAREA LA PUTERE A FRACȚIILOR

Să vedem ce înseamnă 3 supra 4 la puterea a doua.

A ridica o fracție la o putere înseamnă a o înmulți cu ea însăși de mai multe ori.

În cazul nostru, exponentul este 2, deci o să înmulțim fracția 3 supra 4 cu ea însăși de două ori.

Vom scrie egal cu 3 supra 4 ori 3 supra 4.

Atunci când trebuie să înmulțim două fracții, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.

O să obținem egal cu 3 ori 3 supra 4 ori 4.

Dar 3 ori 3 înseamnă 3 la a doua, iar 4 ori 4 este 4 la a doua.

Observăm așadar că atunci când ridicăm o fracție la o putere, o să ridicăm și numărătorul și numitorul la acea putere.

Egal mai departe cu 9 supra 16.

Un alt exemplu, 1 supra 5 la puterea a treia.

Va fi egal cu 1 supra 5 ori 1 supra 5 ori 1 supra 5.

Egal mai departe cu 1 ori 1 ori 1 supra 5 ori 5 ori 5.

Care este egal cu 1 la a treia supra 5 la a treia.

Observați din nou că ridicăm și numărătorul și numitorul la puterea a treia.

1 la a treia este egal cu 1, 5 la a treia este 125.

Atunci, pentru a ridica o fracție la o putere, ridicăm și numărătorul și numitorul la acea putere.

Adică a supra b la puterea n va fi egal cu a la n supra b la n.

În continuare o să deducem niște reguli de calcul cu puteri.

Prima regulă, 3 supra 5 la puterea a doua ori 3 supra 5 la puterea a treia.

Încercăm să găsim o regulă generală referitoare la înmulțirea a două puteri cu aceeași bază.

3 supra 5 la puterea a doua este 3 la a doua supra 5 la a doua ori 3 la a treia supra 5 la a treia.

Înmulțim iarăși numărătorii între ei și numitorii între ei.

Egal cu 3 la a doua ori 3 la a treia supra 5 la a doua ori 5 la a treia.

Aici folosim regulile de calcul cu puteri ale numerelor naturale și 3 la a doua ori 3 la a treia este egal cu 3 la a cincea

deoarece se adună exponenții supra 5 la a cincea.

Care se poate scrie mai departe? 3 supra 5 totul la puterea a cincea.

Uitați-vă la exponent. Observați că exponentul rezultatului este suma celor doi exponenți.

Aceasta va fi prima regulă de calcul cu puteri și anume a supra b la m ori a supra b la n va fi egal cu a supra b la puterea m plus n.

În continuare vom deduce o altă regulă de calcul cu puteri.

2 supra 3 la a șasea împărțit la 2 supra 3 la a doua.

Egal mai departe cu 2 la a șasea supra 3 la a șasea împărțit la 2 la a doua supra 3 la a doua.

Atunci când trebuie să împărțim două fracții o să îmbulțim prima fracție cu inversa cele de a doua.

Deci va fi egal cu 2 la a șasea supra 3 la a șasea ori 3 la a doua supra 2 la a doua.

Egal mai departe cu 2 la a șasea ori 3 la a doua supra 3 la a șasea ori 2 la a doua.

2 la a șasea se poate scrie 2 la a doua ori 2 la a patra iar 3 la a doua îl copiem supra.

3 la a șasea se poate scrie 3 la a doua ori 3 la a patra iar pe 2 la a doua îl copiem.

Observăm că factorul 2 la a doua apare atât la numărător cât și la numitor.

Înseamnă că putem să simplificăm această fracție cu 2 la a doua.

2 la a doua împărțit la 2 la a doua va fi 1.

Observăm că și 3 la a doua se repetă. Înseamnă că vom simplifica și cu 3 la a doua.

Obținem 1 și 1.

La numărător rămâne 2 la a patra iar la numitor 3 la a patra.

Care se va scrie 2 supra 3 totul la putere a a patra.

Ne uităm din nou la exponentul rezultatului și observăm că acesta este diferența dintre cei 2 exponenți inițiali.

A doua regulă de calcul cu puteri va fi aceasta a supra b la m împărțit la a supra b la n

va fi egal cu a supra b la puterea m minus n.

În continuare o să deducem a treia regulă de calcul cu puteri.

4 supra 7 la puterea a doua și totul ridicat la puterea a treia.

Să vedem ce se va întâmpla cu exponenții în acest caz.

4 supra 7 la a doua este 4 la a doua supra 7 la a doua și totul ridicat la puterea a treia.

Egal mai departe cu 4 la a doua supra 7 la a doua înmulțită cu ea însăși de 3 ori.

Ori 4 la a doua supra 7 la a doua, ori 4 la a doua supra 7 la a doua.

Egal mai departe cu 4 la puterea a șasea deoarece se adună exponenții.

Iar 7 la a doua, ori 7 la a doua, ori 7 la a doua va fi egal cu 7 la puterea a șasea.

Care se va scrie 4 supra 7 totul la puterea a șasea.

Observăm că exponentul rezultatului este produsul dintre cei doi exponenții.

Și atunci regula numărul 3 va fi aceasta.

a supra b la m totul la puterea n va fi egal cu a supra b la puterea m ori n.

Și a patra regulă 2 supra 5 la puterea a doua ori 3 supra 4 la puterea a doua.

Să vedem dacă putem scrie acest produs de două puteri ca și puterea unui produs.

2 supra 5 totul la a doua este 2 la a doua supra 5 la a doua ori 3 la a doua supra 4 la a doua.

Egal mai departe cu 2 la a doua ori 3 la a doua totul supra 5 la a doua ori 4 la a doua.

Dar 2 la a doua ori 3 la a doua se poate scrie 2 ori 3 totul la a doua supra 5 ori 4 totul la a doua.

Egal cu 2 ori 3 supra 5 ori 4 totul la puterea a doua.

Observăm așadar că produsul a doua puteri este egal cu puterea produsului.

Aici bineînțeles putem face calculele în continuare și obținem 6 supra 20 totul la puterea a doua care este egal cu 36 supra 400.

Putem să mai simplificăm cu 4 și obținem egal cu 9 supra 100.

Regula numărul 4 va fi aceasta a supra b la n orice supra d la n va fi egal cu a supra b orice supra d totul la puterea n.

În continuare o să facem câteva exerciții care vom aplica regulile învățate până acum.

Primul exercițiu 5 supra 8 la puterea a patra împărțit la 5 supra 8 la puterea a doua.

Va fi egal cu 5 supra 8 la puterea 4 minus 2 adică 5 supra 8 la puterea a doua care este egal cu 5 la a doua supra 8 la a doua egal cu 25 supra 64.

Al doilea exercițiu să calculăm 1 supra 2 la puterea a doua ori 1 supra 2 la puterea a treia.

Folosim prima regulă și scriem egal cu 1 supra 2 la puterea 2 plus 3 adică 1 supra 2 la 5 egal cu 1 la 5 supra 2 la 5 egal cu 1 supra 32.

Al treilea exemplu 7 supra 9 la puterea a doua și totul ridicat la puterea a treia împărțit la 7 supra 9 la puterea a cincea.

Conform cele de a treia reguli, prima fracție se va scrie 7 supra 9 la puterea 2 ori 3 adică la puterea a șasea împărțit la 7 supra 9 la puterea a cincea.

Care este egal mai departe cu 7 supra 9 la puterea 6 minus 5 adică la puterea a întâia egal mai departe cu 7 supra 9.

Orice fracție la puterea a întâia este ea însăși.

Și ultimul exercițiu 2 supra 7 la puterea a doua ori 5 supra 2 la puterea a doua.

Acest produs de două puteri se poate scrie egal cu 2 supra 7 ori 5 supra 2 totul la puterea a doua.

Putem să simplificăm pe diagonală deoarece apare factorul 2 și la numărător și la numitor.

O să simplificăm așadar cu 2. 2 împărțit la 2 este 1.

Obținem 1 ori 5 care este 5 supra 7 ori 1 este 7 totul la puterea a doua.

Egal mai departe cu 5 la a doua supra 7 la a doua care este egal cu 25 supra 49.