Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, A\neq \varnothing .\)
Definiţii.

• Mulţimea A se numeşte majorată sau mărginită superior, dacă există un număr real M astfel încât \(x\leq M, \forall x\in A.\)

Numărul M se numeşte majorant al mulţimii A.
Numărul M se numeşte margine superioară a mulţimii A dacă M este cel mai mic majorant al mulţimii A. Notăm: M = supA.

• Mulţimea A se numeşte minorată sau mărginită inferior, dacă există un număr real m astfel încât \(m\leqslant x, \forall x\in A.\)

Numărul m se numeşte minorant al mulţimii A.
Numărul m se numeşte margine inferioară a mulţimii A dacă m este cel mai mare minorant al mulţimii A. Notăm: m = infA.

• Mulţimea A se numeşte mărginită dacă este mărginită inferior şi superior. 
• Mulţimea A este mărginită dacă şi numai dacă \(\exists a> 0\) astfel încât \(\left | x \right |\leqslant a,\forall x\in A.\)

Axioma lui Cantor: Orice mulţime de numere reale mărginită inferior are o margine inferioară în \(\mathbb{R}.\)

Definiţii.

• O mulţime A se numeşte nemărginită inferior dacă nu are nici un minorant. În acest caz vom considera \(infA=-\infty .\)
• O mulţime A se numeşte nemărginită superior dacă nu are nici un majorant. În acest caz vom considera \(supA=+\infty .\)
• Mulţimea numerelor reale la care se adaugă simbolurile \(+\infty ,-\infty\) se numeşte dreapta reală încheiată şi se notează \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ +\infty ,-\infty \right \}.\)

Au loc următoarele operaţii în \(\overline{\mathbb{R}}:\)

\((+\infty )+(+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )+(-\infty )=-\infty\)
\((+\infty )+a=a+(+\infty )=+\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((-\infty )+a=a+(-\infty )=-\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((+\infty )\cdot (+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )\cdot (-\infty )=+\infty\)
\((+\infty )\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot (+\infty )=-\infty\)
\((+\infty )\cdot a=a\cdot (+\infty )=+\infty, \forall a> 0\)
\((-\infty )\cdot a=a\cdot (-\infty )=-\infty, \forall a> 0\)
\((+\infty )\cdot a=-\infty, \forall a< 0\)
\((-\infty )\cdot a=+\infty, \forall a< 0\)
\(\frac{a}{+\infty }=\frac{a}{-\infty }=0, \forall a\in \mathbb{R}\)

Sunt considerate operaţii fără sens următoarele:

\(\infty -\infty ; 0\cdot (\pm \infty ); \frac{0}{0}; \frac{\pm \infty }{\pm \infty };0^{0};(\pm \infty )^{0}; 1^{\pm \infty }.\)
 

Definiţie. Fie \(a\in \mathbb{R}.\)  Se numeşte vecinătate a punctului \(a\) orice submulţime \(V\subseteq \mathbb{R}\) care conţine un interval deschis centrat in \(a.\)
(V este vecinătate a punctului \(a\) \(\Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0,\) astfel încât \((a-\varepsilon ,a+\varepsilon )\subseteq V\) ).
Observaţii.

• Un număr real \(a\) are o infinitate de vecinătăţi şi vom nota mulţimea acestora cu \(\vartheta (a).\)
• Vecinătăţile lui \(+\infty\) sunt intervale de forma \((a,+\infty ].\)
• Vecinătăţile lui \(-\infty\) sunt intervale de forma \([-\infty ,a).\)

Definiţie. Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, a\in \overline{\mathbb{R}}.\) Numărul \(a\) se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea A, dacă orice vecinătate V a lui \(a\) mai conţine şi alte puncte din A, diferite de \(a\)  \((V-\left \{ a \right \}\cap A\neq \varnothing ).\)
Definiţie. Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, a\in \overline{\mathbb{R}}.\) Numărul \(a\) se numeşte punct izolat pentru mulţimea A dacă nu este punct de acumulare (există cel puţin o vecinătate V a punctului \(a\) astfel încât \(V\cap A=\left \{ a \right \}.\)

Definiţie. Un şir \(\left ( x_{n} \right )\) de numere reale are limita \(l\in \overline{\mathbb{R}}\) dacă în orice vecinătate a punctului \(l\) se află toţi termenii şirului începând de la un anumit rang (sau, altfel spus, în afara oricărei vecinătăţi a lui \(l\) se află un număr finit de termeni).
Notaţie:
\(\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}= l.\)
Definiţie. Un şir care are limită finită se numeşte şir convergent.
Definiţie. Un şir care nu are limită sau are limita \(+\infty\) sau \(-\infty\) se numeşte şir divergent.
Observaţie. Dacă un şir are limită, atunci aceasta este unică. 

Au loc următoarele proprietăţi ale şirurilor care au limită:

P1. Prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care are limită, se obţine un alt şir având aceeaşi limită.
P2. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir de numere reale pozitive \(\left ( x_{n}\geq 0,\forall n \right )\) având limita \(l\), atunci şi limita sa este pozitivă \(\left ( l\geqslant 0 \right ).\)
P3. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir crescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\leqslant l, \forall n\) (limita unui şir crescător este mai mare decât toţi termenii şirului). 
P4.  Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir descrescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\geqslant l, \forall n\) (limita unui şir descrescător este mai mică decât termenii şirului). 
P5. Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită.

• Consecinţă (Criteriu de divergenţă). Dacă un şir conţine două subşiruri convergente, având limite diferite, atunci şirul este divergent.

P6. Dacă  \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir convergent, atunci şirul \(\left ( \left | x_{n} \right | \right )\) este convergent şi  \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left | x_{n} \right |= \left | \lim_{n \to \infty }x_{n} \right |\) 
(limita modulului este egală cu modulul limitei).
P7. Orice şir convergent este mărginit.

• Consecinţă (Criteriu de divergenţă). Dacă un şir este nemărginit, atunci el este divergent.

Criteriul de convergență cu epsilon. Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(l\in \mathbb{R}\) dacă şi numai dacă  \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(\left | x_{n}-l \right |< \varepsilon .\)

Criteriul cu epsilon pentru limită infinită
Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(+\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}> \varepsilon .\)

Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(-\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}< - \varepsilon .\)

Fie \(\left ( x_{n} \right ),\left ( y_{n} \right )\) două şiruri convergente şi  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x, \lim_{n \to \infty }y_{n}= y.\) 
Au loc următoarele proprietăţi:

• Limita sumei este egală cu suma limitelor: şirul \(\left ( x_{n}+y_{n} \right )\) este convergent şi \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n}+y_{n} \right )= \lim_{n \to \infty }x_{n}+\lim_{n \to \infty }y_{n}.\)
• Limita produsului este egală cu produsul limitelor: şirul \(\left ( x_{n}\cdot y_{n} \right )\) este convergent şi \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n}\cdot y_{n} \right )=\left ( \lim_{n \to \infty }x_{n} \right )\cdot \left ( \lim_{n \to \infty }y_{n} \right ).\)
• Limita câtului este egală cu câtul limitelor: dacă \(y_{n}, y\in \mathbb{\mathbb{R}}^{*}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) atunci şirul  \(\left (\frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) este convergent şi   \(\lim_{n \to \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim_{n \to \infty }x_{n}}{\lim_{n \to \infty }y_{n}}.\)
• Limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului: dacă \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(x\in \mathbb{R}^{*}\) atunci  \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n} \right )^{y_{n}}= \left ( \lim_{n \to \infty }x_{n} \right )^{\lim_{n \to \infty }y_{n}}.\)

Teoremă (Criteriul majorării). Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale.

• Dacă există \(x\in \mathbb{R}\) şi \(\left ( y_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât  \(\lim_{n \to \infty }y_{n}= 0\)   şi 

 \(\left | x_{n}-x \right |\leq y_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\), atunci    \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x.\)

• Dacă există un şir de numere reale \(\left ( y_{n} \right )\) astfel încât  \(\lim_{n \to \infty }y_{n}= -\infty\)   şi   

\(x_{n}\leqslant y_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*},\)   atunci  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= -\infty .\)

• Dacă există un şir de numere reale \(\left ( y_{n} \right )\) astfel încât  \(\lim_{n \to \infty }y_{n}= +\infty\)   şi   

\(x_{n}\geqslant y_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*},\)  atunci  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= +\infty .\)

Teoremă (Criteriul "cleştelui"). Fie \(\left ( x_{n} \right ), \left ( y_{n} \right ), \left ( z_{n} \right )\)  trei şiruri de numere reale astfel încât:

a) \(x_{n}\leqslant y_{n}\leq z_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\)
b) \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= \lim_{n \to \infty }z_{n}= l\)

Atunci   \(\lim_{n \to \infty }y_{n}= l\).

Au loc următoarele proprietăţi:
P1. Fie  \(\left ( x_{n} \right )\)  un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\)  şi  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\)   Atunci  \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=\infty .\)

P2.  Fie  \(\left ( x_{n} \right )\)  un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}< 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\)  şi  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\)   Atunci  \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=-\infty .\)

P3. Fie  \(\left ( x_{n} \right )\)  un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\),  \(\left ( x_{n} \right )\)  strict crescător şi nemărginit. Atunci  \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=0.\)

P4. Produsul dintre un şir mărginit şi un şir convergent la zero este un şir convergent la zero.

P5. Fie şirurile \(\left ( x_{n} \right ), \left ( y_{n} \right ),\)  astfel încât  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0, \lim_{n \to \infty }y_{n}=0\) şi \(a\in \mathbb{R}^{*}.\)  Atunci:

• \(\lim_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n})=0.\)
• \(\lim_{n \to \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=0.\)
• \(\lim_{n \to \infty }(ax_{n})=0.\)

Teoremă (Proprietatea lui Weierstrass). Orice şir monoton şi mărginit este convergent.

• Dacă \(\left ( x_{n} \right )\)  este un şir crescător şi mărginit superior, atunci \(\left ( x_{n} \right )\)  este convergent.
• Dacă \(\left ( x_{n} \right )\)  este un şir descrescător şi mărginit inferior, atunci \(\left ( x_{n} \right )\)  este convergent.

Proprietatea lui Weierstrass conduce la următorul rezultat:
Lema lui Cesaro. Orice şir mărginit conţine cel puţin un subşir convergent.

Considerăm şirul  \(\left ( e_{n} \right ), e_{n}= \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}, n\geq 1.\)  Atunci:

• şirul  \(\left ( e_{n} \right )\)  este strict crescător
• şirul  \(\left (e_{n} \right )\)  este mărginit
• şirul  \(\left ( e_{n} \right )\)  este convergent, iar  \(\lim_{n \to \infty }e_{n}= e.\)

Numărul e este un număr iraţional având valoarea aproximativă \(e\approx 2,718...\)
Aşadar  \(\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}= e.\)

• Fie şirul  \(\left ( x_{n} \right ), x_{n}> 0, \lim_{n \to \infty }x_{n}= +\infty .\)  Atunci  \(\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x_{n}} \right )^{x_{n}}= e.\)

 

• Fie şirul \(\left ( x_{n} \right ), \lim_{n \to \infty }x_{n}= 0.\)  Atunci   \(\lim_{n \to \infty }\left ( 1+x_{n} \right )^{\frac{1}{x_{n}}}= e.\)

 

• Fie şirul \(\left ( x_{n} \right ), x_{n}\neq 0, \lim_{n \to \infty }x_{n}= 0.\)  Atunci:

1. \(\lim_{n \to \infty }\frac{ln(1+x_{n})}{x_{n}}= 1\)
2. \(\lim_{n \to \infty }\frac{a^{x_{n}}-1}{x_{n}}= lna, a> 0,a\neq 1\)
3. \(\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 1+x_{n} \right )^{a}-1}{x_{n}}= a,a\in \mathbb{R}.\)

Teoremă (Stolz-Cesaro). Fie şirurile \(\left ( x_{n} \right ), \left ( y_{n} \right ),\) astfel încât \(\left ( y_{n} \right )\)  este strict crescător, nemărginit şi \(y_{n}\neq 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}.\) 
Dacă există   \(\lim_{n \to \infty }\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}= l\in \overline{\mathbb{R}}\)
atunci şirul \(\left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\)  are limită şi  \(\lim_{n \to \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}= l.\)