Mulțimi mărginite - noțiuni introductive

Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, A\neq \varnothing .\)
Definiţii.

• Mulţimea A se numeşte majorată sau mărginită superior, dacă există un număr real M astfel încât \(x\leq M, \forall x\in A.\)

Numărul M se numeşte majorant al mulţimii A.
Numărul M se numeşte margine superioară a mulţimii A dacă M este cel mai mic majorant al mulţimii A. Notăm: M = supA.

• Mulţimea A se numeşte minorată sau mărginită inferior, dacă există un număr real m astfel încât \(m\leqslant x, \forall x\in A.\)

Numărul m se numeşte minorant al mulţimii A.
Numărul m se numeşte margine inferioară a mulţimii A dacă m este cel mai mare minorant al mulţimii A. Notăm: m = infA.

• Mulţimea A se numeşte mărginită dacă este mărginită inferior şi superior. 
• Mulţimea A este mărginită dacă şi numai dacă \(\exists a> 0\) astfel încât \(\left | x \right |\leqslant a,\forall x\in A.\)

Axioma lui Cantor: Orice mulţime de numere reale mărginită inferior are o margine inferioară în \(\mathbb{R}.\)