Şiruri convergente la zero (P1-P3)
Au loc următoarele proprietăţi:
P1. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=\infty .\)
P2. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}< 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=-\infty .\)
P3. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\), \(\left ( x_{n} \right )\) strict crescător şi nemărginit. Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=0.\)
P4. Produsul dintre un şir mărginit şi un şir convergent la zero este un şir convergent la zero.
P5. Fie şirurile \(\left ( x_{n} \right ), \left ( y_{n} \right ),\) astfel încât \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0, \lim_{n \to \infty }y_{n}=0\) şi \(a\in \mathbb{R}^{*}.\) Atunci:
P1. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=\infty .\)
P2. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}< 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0.\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=-\infty .\)
P3. Fie \(\left ( x_{n} \right )\) un şir de numere reale astfel încât \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\), \(\left ( x_{n} \right )\) strict crescător şi nemărginit. Atunci \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{x_{n}}=0.\)
P4. Produsul dintre un şir mărginit şi un şir convergent la zero este un şir convergent la zero.
P5. Fie şirurile \(\left ( x_{n} \right ), \left ( y_{n} \right ),\) astfel încât \(\lim_{n \to \infty }x_{n}=0, \lim_{n \to \infty }y_{n}=0\) şi \(a\in \mathbb{R}^{*}.\) Atunci:
- \(\lim_{n \to \infty }(x_{n}+y_{n})=0.\)
- \(\lim_{n \to \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=0.\)
- \(\lim_{n \to \infty }(ax_{n})=0.\)