Şiruri convergente la zero (P1-P3)

În acest videoclip voi demonstra și exemplifica câteva proprietăți ale șirurilor convergente la zero.

Pentru demonstrarea proprietăților vom folosi criteriile cu epsilon a limitei unui șir, de aceea le voi reaminti.

Șirul xn este convergent la x dacă și numai dacă, oricare ar fi numărul pozitiv epsilon, se poate găsi un rang n de epsilon,

astfel încât pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon să avem modul din xn minus x mai mic decât epsilon.

În particular, dacă x este egal cu zero, criteriul de convergență cu epsilon la zero se poate rescrie astfel.

Șirul xn de numere reale este convergent la zero dacă și numai dacă, oricare ar fi numărul pozitiv epsilon, există un rang n de epsilon,

astfel încât pentru orice număr n mai mare sau egal decât n de epsilon să avem că modul din xn este mai mic decât epsilon.

Șirul xn are limita plus infinit dacă și numai dacă, pentru orice număr pozitiv epsilon, se poate găsi un rang n de epsilon,

astfel încât xn să fie mai mare decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Și xn are limita minus infinit dacă și numai dacă, pentru orice epsilon pozitiv există un rang n de epsilon,

astfel încât pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon să avem că xn este mai mic decât minus epsilon.

Voi începe cu proprietatea întâi a șirurilor convergente la zero.

Dacă xn este un șir de numere reale cu toți termenii pozitivi convergent la zero, atunci limita când întinde la infinit din 1 supra xn va fi egală cu plus infinit.

Să demonstrăm această proprietate.

Deoarece șirul xn este un șir convergent la zero, folosind criteriul de convergență la zero cu epsilon, adică membrul drept al relației de echivalență 1,

rezulta că pentru orice epsilon pozitiv există un rang care depinde de epsilon, astfel încât modul din xn să fie mai mic decât epsilon, pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon.

Dar cum xn este un șir cu toți termenii pozitivi, înseamnă că modul din xn este egal cu xn și rezcriem inegalitatea xn mai mic decât epsilon, inversând ambii membri ai inegalității, atunci ea devine 1 supra xn mai mare decât 1 supra epsilon.

În consecință obținem că pentru orice epsilon pozitiv există un rang care depinde de epsilon, astfel încât 1 supra xn este mai mare decât 1 pe epsilon, pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Acum vom face notația 1 supra epsilon egal cu epsilon prim. Pentru că epsilon era mai mare decât 0, 1 supra epsilon va fi la rândul lui mai mare decât 0, deci epsilon prim este mai mare decât 0.

Rangul n de epsilon, evident că depinde de epsilon, înseamnă că acest rang poate fi scris în funcție de 1 supra epsilon, adică în funcție de epsilon prim.

Vom rezcrie propoziția astea folosind notația 1 pe epsilon egal cu epsilon prim și folosindu-ne de aceste observații și obținem oricare ar fi epsilon prim pozitiv există n de epsilon prim din n stelat, astfel încât 1 supra xn mai mare decât epsilon prim pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon prim.

Ceea ce, conform criteriului cu epsilon pentru limita plus infinit, este echivalent cu 1 supra xn are limita plus infinit, ceea ce trebuia să demonstrăm.

Următoarea convenție de scriere, 1 supra 0 cu plus este egal cu plus infinit, se folosește pentru scrierea rezultatului din proprietatea 1. 0 cu plus înseamnă că șirul xn tinde la 0 cu valori pozitive.

Voi folosi proprietatea 1 în rezolvarea unui exercițiu.

Calculăm limita când xn tinde la infinit din n pătrat supra n plus 3.

Pentru a rezolva exercițiul vom rescrie termenul general al șirului într-o altă formă.

n pătrat supra n plus 3 este egal cu 1 supra n plus 3 supra n pătrat, puteți face verificarea, 1 împărțit la n plus 3 supra n pătrat ne dă n pătrat supra n plus 3.

Apoi la numitor trecem fiecare termen al sumei.

Supra numitor vom avea 1 supra n supra n pătrat plus 3 supra n pătrat.

Facem simplificarea cu n și obținem 1 supra 1 pe n plus 3 supra n pătrat.

Notam 1 pe n plus 3 supra n pătrat cu xn.

Termenii acestui șir xn vor fi pozitivi pentru orice n din n stelat.

1 supra n are limita 0, 3 supra n pătrat are limita 0.

Din operațiile cu șiruri convergente ne rezultă și că 1 supra n plus 3 supra n pătrat are limita 0.

Înseamnă că acest șir xn verifică condițiile din ipoteza proprietății 1.

Deci limita din 1 supra xn va fi egală cu plus infinit.

Adică limita șirului n pătrat supra n plus 3 este egală cu plus infinit.

Proprietatea 2. Dacă xn este un șir de numere reale cu toți termenii negativi convergent la 0,

atunci limita când întindem la infinit din 1 supra xn este egală cu minus infinit.

Enunțul acestei proprietăți este similar cu enunțul proprietății 1.

În consecință și demonstrația acestei proprietăți este similară cu demonstrația proprietății 1.

De data aceasta se folosesc criteriile de existență limitei unui șir cu epsilon 1 și 3

și trebuie să țineți cont de faptul că toți termenii șirului xn sunt negativi,

deci modul din xn este egal cu minus xn.

Demonstrați singuri această proprietate.

Convenția de scriere pentru situația descrisă în proprietatea 2 este 1 supra 0 cu minus egal cu minus infinit.

Proprietatea 3

Dacă xn este un șir de numere reale strict crescător, nemărginit și cu toți termenii pozitivi,

atunci limita când întindem la infinit din 1 supra xn este egală cu 0.

Să demonstrăm această proprietate.

Fie epsilon pozitiv

Din nemărginirea șirului xn rezultă că există un rang n de epsilon, astfel încât x indice n de epsilon să fie mai mare decât epsilon.

Notăm această propoziție cu stea.

Din monotonia șirului se obține că pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon avem x indice n mai mare sau egal cu x indice n de epsilon.

Această propoziție o vom nota cu două steluțe.

Din propozițiile stea și două stele rezultă că există un n de epsilon din n stelat, astfel încât xn să fie mai mare sau egal decât xn de epsilon,

care este mai mare decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Din acest șir de inegalități ne interesează doar că xn este mai mare decât epsilon și rescriem acest rezultat,

oricare ar fi epsilon pozitiv, există n de epsilon din n stelat, astfel încât xn să fie mai mare decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Dacă xn este mai mare decât epsilon, inversăm cei doi membri ai inegalității, obținem că 1 supra xn este mai mic decât 1 pe epsilon

și cum xn este un șir de numere reale pozitive, 1 supra xn va fi pozitiv, deci modul din 1 supra xn este egal cu 1 supra xn.

Deci în această inegalitate înlocuim 1 supra xn cu modul din 1 supra xn.

Adică am arătat că pentru orice epsilon pozitiv există un rang n de epsilon cu proprietatea că modul din 1 supra xn este mai mic decât 1 pe epsilon

pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Notăm această propoziție cu 3 steluțe.

Notăm 1 pe epsilon cu epsilon prim și folosind același raționament pe care l-am utilizat în demonstrarea proprietății p1,

Propoziția 3 steluțe este echivalentă cu

Ori care ar fi epsilon prim mai mare decât 0 există n de epsilon prim natural cu proprietatea că modul din 1 supra xn este mai mic decât epsilon prim pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon prim.

Folosind criteriul de convergență la 0 cu epsilon, adică echivalența 1, rezultă că limita șirului 1 supra xn este 0 și cu asta am demonstrat proprietatea 3.

O observație. Condiția de monotonie poate fi înlocuită cu condiția ca șirul xn să aibă limită.

În acest caz, limită când întind de la infinit din xn egal cu plus infinit și atunci șirul 1 pe xn va fi convergent la 0.

Să rezolvăm câteva exerciții în care folosim proprietatea 3 pentru calculul unor limite de șiruri.

Avem de determinat limită când întind de la plus infinit din 1 supra 3 la n, apoi limită când întind de la infinit din 1 supra radical din n și ultima limită când întind de la infinit din 1 supra radical de ordin 3 din n.

Pentru calculul primei limite considerăm xn egal cu 3 la n, xn este mai mare decât 0 pentru orice n natural diferit de 0, în plus pentru că funcția exponențială 3 la x este o funcție strict crescătoare și nemărginită și șirul xn este un șir strict crescător și nemărginit.

Înseamnă că șirul 3 la n verifică condițiile din ipoteza proprietății 3, în consecință limită când întind de la infinit din 1 supra xn, adică 1 supra 3 la n, este egală cu 0.

Pentru calculul celei de a doua limite considerăm șirul xn egal cu radical din n, termenii acestui șir sunt toți pozitivi pentru n natural mai mare sau egal cu 1, funcția radical de ordin 2 din n este o funcție strict crescătoare și nemărginită superior, înseamnă că șirul xn este strict crescător și nemărginit.

În această situație șirul xn verifică condițiile din ipoteza proprietății 3, înseamnă că limită când întind de la infinit din 1 supra xn, adică 1 supra radical din n, este egală cu 0.

Analog se arată și că limită când întind de la infinit din 1 supra radical de ordin 3 din n, este tot egală cu 0.

Vă las pe voi să rezolvați acest exercițiu folosind proprietatea P3.

Mai sunt două proprietăți ale șirurilor convergente la 0, pe acelea le voi aborda într-un alt videoclip.