Șiruri convergente la zero (P4-P5)

În acest videoclip voi demonstra și exemplifica alte câteva proprietăți ale șirurilor convergente la zero.

Proprietatea 4

Fie xn și yn două șiruri de numere reale, astfel încât limita șirului xn, când întinde la infinit, este egală cu zero,

iar yn este un șir mărginit, atunci limita șirului xn-yn, când întinde la infinit, este egală cu zero.

Adică, produsul dintre un șir mărginit și un șir convergent la zero, este un șir convergent la zero.

Să demonstrăm această proprietate.

În ipoteza proprietății 4, ni se spune că yn este un șir mărginit.

Aceasta înseamnă că există m pozitiv, astfel încât modul din yn să fie mai mic sau egal cu m, pentru orice n natural diferit de zero.

Vom demonstra această proprietate cu ajutorul criteriului majorării.

Îl reamintesc.

Dacă an este un șir de numere reale și există l, un număr real, și bn, un șir de numere reale convergent la zero,

și modul din an-l este mai mic sau egal cu bn, pentru orice n din n-stea, atunci șirul an este convergent la l.

În cazul nostru, șirul an din criteriul majorării este xn ori yn.

l, număr real, este zero.

Șirul bn de numere reale este m, acest m care ne-a apărut în relația 1, ori modul din xn.

Din moment ce în ipoteza proprietății patrunii se spunea că șirul xn este convergent la zero,

știm că și modul din xn va fi un șir convergent la zero.

Dacă acest șir convergent la zero îl înmulțim cu număr real, obținem tot un șir convergent

și limita acestui șir va fi m, ori limita șirului modul din xn, adică tot zero.

Și atunci să evaluăm modul din an-l.

Modul din xn-yn-0 este egal cu modul din xn-yn

care este egal cu modul din xn-yn

am folosit aici una din proprietățile modulului

Din inegalitatea 1 avem că acest produs este mai mic sau egal cu modul din xn-m

care este chiar șirul bn, adică modul din xn-m

Cu alte cuvinte am arătat că modul din xn-yn-0 este mai mic sau egal decât modul din xn-m

pentru orice n din n-stelat

Înseamnă că, pe baza criteriului majorării, șirul xn-yn va fi convergent la zero

Această proprietate este des folosită în rezolvarea de exerciții

Să rezolvăm acum câteva exerciții folosind proprietatea P4

Să se calculeze limită când întindem la infinit din 1 pe n ori cosinus de 3 supra n

1 pe n este un șir convergent la zero

Funcția cosinus este o funcție mărginită de minus 1 și 1

Înseamnă că modul din cosinus de 3 supra n este mai mic sau egal cu 1 pentru orice n din n-stelat

Deci șirul cosinus de 3 supra n este un șir mărginit, iar șirul 1 pe n are limita zero

Conform proprietății P4, șirul 1 pe n ori cosinus de 3 supra n va fi convergent la zero

Deci limita acestui șir este egală cu zero

Exercițiul 2

Să se calculeze limita când întindem la infinit din 1 pe n ori sinus de n pipe 2

Se consideră șirurile xn și yn

xn egal cu 1 pe n pentru orice n din n-stelat

și yn egal cu sinus de n pipe 2 pentru orice n din n-stelat

Șirul xn este un șir convergent la zero, iar șirul yn are toți termenii în intervalul închis minus 1,1

pentru că sinusul este o funcție mărginită de minus 1 și 1

Înseamnă că șirul yn este un șir mărginit

Pe bază a proprietății P4 rezultă că șirul xn ori yn va fi convergent la zero

adică 1 pe n ori sinus de n pipe 2 va fi convergent la zero

adică limita când întindem la infinit din 1 pe n ori sinus de n pipe 2 este egală cu zero

Proprietatea P5

Dacă șirurile xn și yn sunt două șiruri de număre reale ambele convergente la zero

și ce este un număr real nenul, atunci au loc următoarele

Șirul xn plus yn este un șir convergent la zero

adică suma a două șiruri convergente la zero este un șir convergent la zero

ce ori xn este un șir convergent la zero

adică produsul dintre o constantă și un șir convergent la zero este un șir convergent la zero

și xn ori yn este un șir convergent la zero

adică produsul a două șiruri convergente la zero este un șir convergent la zero

Această proprietate este de fapt un caz particular al primei teoreme de la lecția operații cu șiruri convergente

De aceea nici nu vom mai demonstra această proprietate

Vom continua cu câteva exerciții în care vom folosi proprietatea P5

Să calculăm următoarele limite

Limită când întind de la infinit din 1 pe n pătrat plus 1 pe 2 la puterea n

Apoi limită din 5 supra n pătrat și ultimul exercițiu limită din 3 supra n la 3a minus 1 pe 5 la puterea n

Pentru a rezolva primul exercițiu considerăm șirul xn egal cu 1 pe n pătrat un șir convergent la zero

Șirul yn egal cu 1 supra 2 la puterea n și acest șir este convergent la zero

Am rezolvat un exercițiu similar la proprietatea a 3a a șirurilor convergente la zero

Aplicăm punctul 1 al proprietății P5

Suma a două șiruri convergente la zero va fi un șir convergent la zero

Rezultă că limita acestui șir este egală cu zero

Pentru rezolvarea celui de-al doilea exercițiu considerăm șirul xn egal cu 1 supra n pătrat

Acest șir este convergent la zero și constanta C egală cu 5, o constantă reală nenulă

Pe baza 2 din cadrul proprietății P5 avem că produsul dintre o constantă și un șir convergent la zero este un șir convergent la zero

Adică 5 supra n pătrat va fi convergent la zero

Înseamnă că limita din 5 supra n pătrat va fi egală cu zero

Pentru rezolvarea exercițiului al treilea este necesar să folosim diferite supuncte ale proprietății P5 în patru etape

În prima etapă alegem șirul xn egal cu 1 pe n este un șir convergent către zero și șirul yn egal cu 1 supra n pătrat și acest șir este convergent către zero

Folosind supunctul 3 al proprietății 5 obținem că șirul 1 supra n la treia este convergent la zero

În etapa a doua considerăm șirul xn prim egal cu 1 supra n la treia, acest șir am arătat aici că este convergent la zero

Constanta C egală cu 3, un număr real nenul

Atunci pe baza proprietății 5 sub punctul 2 obținem că 3 supra n la treia este un șir convergent la zero

Deocamdată am arătat că primul termen de sublimită este un șir convergent la zero

În etapa a treia considerăm șirul xn secund egal cu 1 supra 5 la puterea n

Acest șir este convergent la zero

Am rezolvat un exercițiu similar la proprietatea a treia a șirurilor convergente la zero

Luăm ce prim egal cu minus 1 și apoi folosim proprietatea a 5 sub punctul 2 și obținem că minus 1 ori 1 pe 5 la puterea n este un șir convergent la zero

Și în sfârșit am ajuns la etapa a patra

Luăm șirul xn terți egal cu 3 supra n la treia

Am arătat aici că este un șir convergent la zero

Luăm șirul yn prim egal cu minus 1 supra 5 la n

Am arătat aici că este un șir convergent la zero

Și acum folosind primul sub punct al proprietății 5

Suma celor două șiruri va fi un șir convergent la zero

Adică 3 supra n la treia plus minus 1 supra 5 la n va fi un șir convergent la zero

Înseamnă că și limita acestui șir este egală cu zero