Proprietăţi ale şirurilor care au limită - prima parte
Au loc următoarele proprietăţi ale şirurilor care au limită:
P1. Prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care are limită, se obţine un alt şir având aceeaşi limită.
P2. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir de numere reale pozitive \(\left ( x_{n}\geq 0,\forall n \right )\) având limita \(l\), atunci şi limita sa este pozitivă \(\left ( l\geqslant 0 \right ).\)
P3. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir crescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\leqslant l, \forall n\) (limita unui şir crescător este mai mare decât toţi termenii şirului).
P4. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir descrescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\geqslant l, \forall n\) (limita unui şir descrescător este mai mică decât termenii şirului).
P5. Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită.
(limita modulului este egală cu modulul limitei).
P7. Orice şir convergent este mărginit.
P1. Prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care are limită, se obţine un alt şir având aceeaşi limită.
P2. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir de numere reale pozitive \(\left ( x_{n}\geq 0,\forall n \right )\) având limita \(l\), atunci şi limita sa este pozitivă \(\left ( l\geqslant 0 \right ).\)
P3. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir crescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\leqslant l, \forall n\) (limita unui şir crescător este mai mare decât toţi termenii şirului).
P4. Dacă \(\left ( x_{n} \right )\) este un şir descrescător de numere reale având limita \(l\), atunci \(x_{n}\geqslant l, \forall n\) (limita unui şir descrescător este mai mică decât termenii şirului).
P5. Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită.
- Consecinţă (Criteriu de divergenţă). Dacă un şir conţine două subşiruri convergente, având limite diferite, atunci şirul este divergent.
(limita modulului este egală cu modulul limitei).
P7. Orice şir convergent este mărginit.
- Consecinţă (Criteriu de divergenţă). Dacă un şir este nemărginit, atunci el este divergent.