Operaţii cu şiruri convergente

Fie \(\left ( x_{n} \right ),\left ( y_{n} \right )\) două şiruri convergente şi  \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x, \lim_{n \to \infty }y_{n}= y.\) 
Au loc următoarele proprietăţi:

• Limita sumei este egală cu suma limitelor: şirul \(\left ( x_{n}+y_{n} \right )\) este convergent şi \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n}+y_{n} \right )= \lim_{n \to \infty }x_{n}+\lim_{n \to \infty }y_{n}.\)
• Limita produsului este egală cu produsul limitelor: şirul \(\left ( x_{n}\cdot y_{n} \right )\) este convergent şi \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n}\cdot y_{n} \right )=\left ( \lim_{n \to \infty }x_{n} \right )\cdot \left ( \lim_{n \to \infty }y_{n} \right ).\)
• Limita câtului este egală cu câtul limitelor: dacă \(y_{n}, y\in \mathbb{\mathbb{R}}^{*}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) atunci şirul  \(\left (\frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) este convergent şi   \(\lim_{n \to \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim_{n \to \infty }x_{n}}{\lim_{n \to \infty }y_{n}}.\)
• Limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului: dacă \(x_{n}> 0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\) şi \(x\in \mathbb{R}^{*}\) atunci  \(\lim_{n \to \infty }\left ( x_{n} \right )^{y_{n}}= \left ( \lim_{n \to \infty }x_{n} \right )^{\lim_{n \to \infty }y_{n}}.\)