Marginile unei mulţimi nemărginite
11 vizualizări · 4 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
- O mulţime A se numeşte nemărginită inferior dacă nu are nici un minorant. În acest caz vom considera \(infA=-\infty .\)
- O mulţime A se numeşte nemărginită superior dacă nu are nici un majorant. În acest caz vom considera \(supA=+\infty .\)
- Mulţimea numerelor reale la care se adaugă simbolurile \(+\infty ,-\infty\) se numeşte dreapta reală încheiată şi se notează \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ +\infty ,-\infty \right \}.\)
\((+\infty )+(+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )+(-\infty )=-\infty\)
\((+\infty )+a=a+(+\infty )=+\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((-\infty )+a=a+(-\infty )=-\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((+\infty )\cdot (+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )\cdot (-\infty )=+\infty\)
\((+\infty )\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot (+\infty )=-\infty\)
\((+\infty )\cdot a=a\cdot (+\infty )=+\infty, \forall a> 0\)
\((-\infty )\cdot a=a\cdot (-\infty )=-\infty, \forall a> 0\)
\((+\infty )\cdot a=-\infty, \forall a< 0\)
\((-\infty )\cdot a=+\infty, \forall a< 0\)
\(\frac{a}{+\infty }=\frac{a}{-\infty }=0, \forall a\in \mathbb{R}\)
Sunt considerate operaţii fără sens următoarele:
\(\infty -\infty ; 0\cdot (\pm \infty ); \frac{0}{0}; \frac{\pm \infty }{\pm \infty };0^{0};(\pm \infty )^{0}; 1^{\pm \infty }.\)
Probabil că vă gândiți că am greșit titlul acestei lecții văzând că am alăturat mulțimile nemărginite,
care ne imaginăm că îs niște mulțimi care nu au margini, de marginile unei mulțimi nemărginite.
Și totuși nu l-am greșit.
În acest videoclip voi defini atât mulțimile nemărginite cât și marginile unei mulțimi nemărginite.
O definiție simplă și intuitivă a mulțimii nemărginite ar putea fi următoarea.
Dacă A este o submulțime a lui R, ea este nemărginită dacă A nu e mărginită.
Simplu.
Când nu este A mărginită?
A nu este mărginită atunci când nu este mărginită superior sau nu este mărginită inferior.
Adică spunem că o submulțime a numerelor reale se numește nemărginită inferior dacă nu are niciun minorant
și o submulțime a numerelor reale este nemărginită superior dacă nu are niciun majorant.
Să dăm câteva exemple de mulțimi nemărginite inferior respectiv superior.
Mulțimea numerelor naturale este nemărginită superior, am văzut că nu are niciun majorant.
Mulțimea numerelor întregi raționale reale sunt nemărginite atât inferior cât și superior.
Dacă A este un număr real, atunci intervalele de forma interval închis A plus infinit și interval deschis A plus infinit sunt intervale nemărginite superior.
Vă reamintesc că interval închis A plus infinit înseamnă mulțimea celor numere reale care sunt mai mari sau egale cu A.
Intervalul deschis A plus infinit nu l-am scris, dar este mulțimea celor numere reale care sunt mai mari strict decât A.
Iar intervalele minus infinit A închis, minus infinit A deschis sunt mulțime nemărginite inferior.
Vă reamintesc că intervalul minus infinit A deschis conține toate numerele reale care sunt mai mici decât A.
În timp ce intervalul minus infinit A închis conține toate numerele reale mai mici sau egale cu A.
Pentru că am văzut în lecția anterioară că mulțimile mărginite de numere reale au margine, inferioară și superioară,
și pentru că mulțimile nemărginite nu sunt minorate sau majorate, deci nu pot avea nici o margine,
a fost extinsă mulțimea numerelor reale la o mulțime în care orice submulțime să aibă o margine inferioară și o margine superioară.
Pentru aceasta, la mulțimea numerelor reale s-au adăugat simbolurile plus infinit și minus infinit
numite numere infinite.
Simbolul pentru infinit, care este cifra 8 scrisă orizontal, a fost inventat de John Wallis.
El a trăit în perioada 1616-1703.
Wallis nu a explicat alegerea acestui simbol, dar se presupune că provine fie din scrierea numărului 1000 cu cifre romane,
Probabil că știți că simbolul lui 1000 cu cifre romane este litera M,
dar înainte de acest simbol pentru numărul 1000 s-au folosit alte simboluri.
Un simbol era acesta, C I și formă un C întors
și de asemenea acest simbol, C și C întors.
Aceste două simboluri sunt niște forme arhaice de scriere a numărului 1000 cu cifre romane
și care au fost folosite cu semnificația de mulți.
Fie din scrierea literei grecești,
Omega este litera mică, omega mare arată altfel, care este ultima litera din alfabetul grecesc.
Mulțimea formată din mulțimea numerelor reale la care adăugăm numerele infinite, plus infinit și minus infinit,
se numește dreapta reală încheiată și se notează cu R barat,
deci R barat este R reunit cu minus infinit și plus infinit.
În R barat, adică pe dreapta reală încheiată, putem defini următoarele intervale.
Interval închis minus infinit deschis A, care conține toate numerele mai mici stric decât A inclusiv minus infinit.
Interval închis minus infinit închis A, care conține toate numerele mai mici sau egale cu A inclusiv minus infinit.
Interval închis A plus infinit, care conține toate numerele reale mai mari sau egale cu A inclusiv plus infinit.
Și interval deschis A închis plus infinit, care conține toate numerele reale mai mari stric decât A inclusiv infinit.
A este un număr real oarecare.
Pe dreapta reală încheiată putem defini marginile unei mulțime nemărginite.
Astfel, dacă A este o submulțime a lui R nemărginită inferior, marginea inferioră a lui A este minus infinit,
iar dacă A este o submulțime a lui R nemărginită superior, marginea superioră a lui A este plus infinit.
Având aceste definiții, avem că marginea superioră a lui N este plus infinit,
marginea inferioră a lui Z este minus infinit, marginea superioră a lui Z este plus infinit,
marginea inferioră a lui Q este minus infinit, marginea superioră a mulțimii numerelor raționale este plus infinit
și marginea inferioră a mulțimii numerelor reale este minus infinit, marginea superioră a lui R este plus infinit.
Dacă la mulțimea numerelor reale am adăugat cele două numere infinite, plus infinit și minus infinit,
trebuie să extindem operațiile aritmetice de pe R pe R barat.
Infinitul este unul dintre conceptele matematice greu de înțeles.
Multe idei matematice care ni se par intuitiv adevărate atunci când lucrăm cu numere finite,
nu mai funcționează atunci când lucrăm cu numere infinite.
Este vreun număr mai mare decât infinit?
Cât este infinit plus infinit?
Sunt niște întrebări la care matematicienii au încercat să răspundă de-a lungul timpului.
Matematicianul german Hilbert, el a trăit între 1862 și 1943,
a încercat să explice operațiile cu infinit utilizând un hotel cu un număr infinit de camere.
Vă puteți imagina că hotelul lui Hilbert are un singur nivel, parterul,
unde este un coridor ce nu se termină niciodată și camerele sunt numerotate 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Într-o zi, o persoană vine să se cazeze la hotelul lui Hilbert și toate camerele sunt ocupate.
În orice alt hotel recepționelul ar fi spus persoanei că nu sunt camere liberă, deci nu o poate caza,
dar la hotelul lui Hilbert recepționelul anunță prin difuzor ca toate persoanele să se mute în camera următoare,
adică persoanele cazate în camera 1 să se mute în camera 2,
persoanele cazate în camera 2 să se mute în camera 3,
cele cazate în camera 3 să se mute în camera 4,
cele din camera N să se mute în camera N plus 1.
Când nu există o ultimă cameră în hotel, fiecare persoană va fi cazată într-o nouă cameră.
Acum prima camera s-a golit și persoana nou venită este cazată în camera 1.
Deci infinit plus 1 este egal cu infinit și ideea poate fi extinsă.
Dacă vin 3 persoane la hotel care au nevoie de 3 camere,
fiecare persoană deja cazată în hotel se mută în camera 3-a de la camera sa,
adică dacă stă în camera cu numărul 1 se mută în camera cu numărul 4,
dacă stă în camera 2 se mută în camera 5,
dacă stă în camera N se mută în camera N plus 3.
În felul acesta se eliberează primele 3 camere și cele 3 persoane nou venite se pot caza în hotel,
adică infinit plus a este egal cu infinit pentru orice a număr real.
Să presupunem acum că la hotel vine un grup cu număr infinit de turiști.
Toate camerele sunt ocupate.
Poate recepționerul să cazeze grupul de turiști?
Cum ar trebui să procedeze pentru a elibera un număr infinit de camere?
Opriți înregistrarea video și gândiți-vă la răspunsurile la aceste două întrebări.
Metoda pe care am prezentat-o înainte nu funcționează acum,
pentru că recepționerul nu poate cere oaspeților cazat să meargă în a infinita camera.
Nu ar ajunge niciodată în noua lor cameră.
Recepționerul însă a găsit o soluție ingenioasă.
El cere oaspeților să se mute în camera care are dublul numărului camerei în care sunt cazați.
Adică oaspeții din camera 1 merg în camera 2,
oaspeții din camera 2 merg în camera 4,
oaspeții din camera 3 merg în camera 6.
În general, oaspeții din camera N se mută în camera 2N.
Toate camerele cu număr impar s-au eliberat.
Cum există un număr infinit de numere impare, grupul cu un număr infinit de turiști poate fi cazat.
Deci, infinit plus infinit este infinit.
Să vedem acum care sunt regulile de calcul acceptate pe Airbarat.
În primul set de reguli am inclus reguli legate de operația de adunare cu numerele infinite.
Orice număr real adunat cu plus infinit va fi plus infinit,
și orice număr real adunat cu minus infinit va fi minus infinit.
Dacă adunăm plus infinit cu plus infinit, rezultatul este plus infinit,
iar minus infinit adunat cu minus infinit este minus infinit.
Nu au sens și se mai numesc nedeterminări următoarele operații,
infinit minus infinit sau minus infinit minus minus infinit.
Pe scurt, este vorba de infinit minus infinit,
care probabil sunteți tentați să spuneți că este egal cu zero.
Câteodată este egal cu zero,
dar alte dăți poate fi plus infinit sau poate să fie minus infinit
sau poate să fie orice număr real.
De aceea e nedeterminare și spunem că nu au sens aceste operații.
Al doilea set de reguli se referă la operația de înmulțire.
Dacă înmulțim un număr real cu plus sau minus infinit,
rezultatul este plus sau minus infinit prin aplicarea regulii semnelor.
Adică, să iau un exemplu, dacă avem de înmulțit A cu minus infinit și A este negativ,
rezultatul este infinit, iar semnul va fi semnul plus
pentru că A e negativ are semnul minus și minus infinit are semnul minus.
Minus cu minus ne dă plus.
Dacă înmulțim infiniții între ei, rezultatul este infinit
semnul din fața infinitului se stabilește tot cu ajutorul regulii semnelor.
Când avem plus cu minus e minus,
plus cu plus ne dă plus, iar minus cu minus ne dă tot plus.
De data aceasta nu au sens sau sunt considerate nedeterminări
operațiile plus infinitor zero sau minus infinitor zero.
Al treilea set de operații este legat de operația de împărțiri
între orice număr real supra plus sau minus infinit este egal cu zero.
Nu au sens și sunt considerate nedeterminări
plus sau minus infinit supra plus sau minus infinit
și am adăugat aici și situația zero pe zero
cu toate că nu apare niciun infinit.
Și această situație este tot o nedeterminare.
Al patrulea set de reguli are legătură cu ridicarea la putere
plus infinit la puterea plus infinit este plus infinit
iar plus infinit la minus infinit este egal cu zero.
Operațiile care nu au sens sau sunt considerate nedeterminări
pentru ridicarea la putere
sunt unul la plus sau minus infinit
și plus sau minus infinit la puterea zero.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.