Marginile unei mulţimi nemărginite

Definiţii.

• O mulţime A se numeşte nemărginită inferior dacă nu are nici un minorant. În acest caz vom considera \(infA=-\infty .\)
• O mulţime A se numeşte nemărginită superior dacă nu are nici un majorant. În acest caz vom considera \(supA=+\infty .\)
• Mulţimea numerelor reale la care se adaugă simbolurile \(+\infty ,-\infty\) se numeşte dreapta reală încheiată şi se notează \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ +\infty ,-\infty \right \}.\)

Au loc următoarele operaţii în \(\overline{\mathbb{R}}:\)

\((+\infty )+(+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )+(-\infty )=-\infty\)
\((+\infty )+a=a+(+\infty )=+\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((-\infty )+a=a+(-\infty )=-\infty , \forall a\in \mathbb{R}\)
\((+\infty )\cdot (+\infty )=+\infty\)
\((-\infty )\cdot (-\infty )=+\infty\)
\((+\infty )\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot (+\infty )=-\infty\)
\((+\infty )\cdot a=a\cdot (+\infty )=+\infty, \forall a> 0\)
\((-\infty )\cdot a=a\cdot (-\infty )=-\infty, \forall a> 0\)
\((+\infty )\cdot a=-\infty, \forall a< 0\)
\((-\infty )\cdot a=+\infty, \forall a< 0\)
\(\frac{a}{+\infty }=\frac{a}{-\infty }=0, \forall a\in \mathbb{R}\)

Sunt considerate operaţii fără sens următoarele:

\(\infty -\infty ; 0\cdot (\pm \infty ); \frac{0}{0}; \frac{\pm \infty }{\pm \infty };0^{0};(\pm \infty )^{0}; 1^{\pm \infty }.\)