Teorema Stolz-Cesaro

În cadrul acestui videoclip voi anunța teorema Stolz-Cesaro și voi exemplifica utilizarea ei în determinarea limitei unui șir.

Teorema Stolz-Cesaro, numită și lema Stolz-Cesaro, este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Numele teoremei vine de la matematicienii Otto Stolz și Ernesto Cesaro, care au enunțat-o și demonstrat-o pentru prima oară.

Otto Stolz a trăit între 1842 și 1905 și a fost un matematician austriac, cunoscut pentru lucrările sale în analiză matematică.

Ernesto Cesaro a trăit între 1859 și 1906 și a fost un matematician italian care a lucrat în domeniul geometriei diferențiale și a devenit faimos datorită studiilor sale din domeniul seriilor infinite.

Să vedem acum ce spune teorema lui Stolz-Cesaro.

Dacă avem două șiruri de numere reale, xn și yn, care satisfac următoarele condiții?

Prima condiție este referitoare doar la șirul yn.

Yn trebuie să fie un șir strict crescător, trebuie să fie un șir nemărginit și trebuie să aibă toți termenii diferiți de zero.

A doua condiție se referă atât la șirul xn cât și la șirul yn.

Adică trebuie să existe limită când întindem de la infinit din xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn.

Această limită poate să fie atât un număr real finit cât și un număr real infinit.

Vedeți că el aparține lui Erdbarad.

Dacă au loc aceste condiții, atunci șirul xn supra yn are limită și limita sa este egală cu L.

Acest L care este și limita lui xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn.

Observăm că această teoremă este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir atunci când L este un număr real finit.

Dar cu ajutorul ei putem determina limita unui șir și atunci când limita este infinită.

Teorema se demonstrează cu ajutorul definiției limitei de șiruri cu vecinătăți sau folosind criteriul cu epsilon.

Puteți găsi demonstrația teoremei în cărți de specialitate.

În continuare voi rezolva două exerciții în care voi afla limita unui șir folosind teorema lui Stoltz Cezaro.

Exercițiul 1. Să se calculeze limita când n tinde la infinit din logaritm natural din n supra n.

Atunci când n tinde la infinit, logaritm natural din n tinde la infinit.

Deci aici vom avea o fracție în care numărătorul tinde la infinit, numitorul tinde la infinit.

Deci suntem în cazul de nedeterminare infinit pe infinit.

Pentru a rezolva acest exercițiu ne vom folosi de teorema lui Stoltz Cezaro.

Să identificăm elementele din ipoteza teoremei și să verificăm dacă condițiile din teoremă sunt îndeplinite.

În cazul acestei limite, cine este șirul xn și cine este șirul yn?

Opriți înregistrarea video și răspundeți la această întrebare.

Pentru că în concluzia teoremei lui Stoltz Cezaro ni se spune că șirul xn supra yn are limită și limita șirului xn supra yn este egală cu L

iar noi trebuie să determinăm limita când întindem de la infinit din logaritm natural din n supra n

înseamnă că xn ar trebui să fie logaritm natural din n și yn ar trebui să fie n.

Să verificăm acum condițiile a și b din ipoteza teoremei.

Yn este șirul numerelor naturale, adică 1, 2, 3, 4, 5, așa mai departe, și este evident un șir strict crescător și nemărginit.

Termenii lui sunt diferiți de zero pentru orice n din n stelat.

Înseamnă că condițiile referitoare la șirul yn sunt toate verificate.

Să verificăm acum dacă există limită când întindem de la infinit din xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn.

Calculăm limita din xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn.

xn plus 1 este logaritm natural din n plus 1, xn este logaritm natural din n,

yn plus 1 este n plus 1, yn este n.

La numitor n și minus n se reduc.

La numărător avem o diferență de 2 logaritmi, înseamnă că va fi egală cu logaritmul raportului.

Deci vom avea de fapt de calculat limită când întindem de la infinit din logaritm natural din n plus 1 supra n.

n plus 1 supra n este o funcție rațională.

La numărător avem un polinom de gradul întâi, la numitor avem un polinom de gradul întâi.

Limita lui n plus 1 supra n va fi raportul coeficienților lui n, adică 1 supra 1.

Deci limita va fi egală cu logaritm natural din 1, care este egală cu 0.

Deci limita acestui raport va fi egală cu 0, care este un număr din R barat și condiția b este verificată.

Rezultă pe baza teoremei Stoltz-Cezaro că șirul xn supra yn, adică logaritm natural din n supra n, are limită și limita acestui șir va fi egală cu 0, adică limita șirului logaritm din n supra n este egală cu 0.

Și cu aceasta exercițiul este rezolvat, am determinat limita.

Să analizăm rezultatul obținut.

Termenii șirului logaritm natural din n cresc, dar cresc mai încet decât termenii șirului n.

Am reprezentat grafic cele două șiruri, aceștia sunt termenii șirului n, iar aceștia ai lui logaritm natural din n.

Constatăm că, cu cât n este mai mare, diferența dintre n și logaritm natural din n crește.

Deci valoarea raportului logaritm natural din n supra n scade.

Am reprezentat aici și termenii șirului logaritm natural din n supra n și observăm că termenii acestui șir se apropie de 0.

Generalizând, într-un limbaj mai puțin riguros matematic, spunem că logaritmul de bază supraunitară crește mai încet decât polinomiala.

Și de aceea logaritmul de bază a din n supra p de n va avea limita 0.

Teorema Stolz-Cezaro este de foarte mare ajutor în calculul acestei limite.

Orice altă metodă de demonstrare a faptului că limita din logaritm natural din n pe n este egală cu 0, fiind mult mai laborioasă.

Să rezolvăm acum un alt exercițiu.

De data aceasta ni se cere să calculăm limita când ne închidem de la infinit din 1 supra n pe lângă 1 plus 1 pe 2 plus 1 pe 3 plus 1 pe 4 plus puncte puncte puncte plus 1 pe n folosind teorema Stolz-Cezaro.

Pentru că în enunțul exercițiului ni se cere să utilizăm această teoremă, primul pas în rezolvare este să ne reamintim teorema.

Am scris din nou enunțul teoremei, dacă xn și yn sunt două șiruri astfel încât șirul yn este strict crescător nemărginit și cu toți termenii diferiți de 0

și există limita când ne întindem de la infinit din xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn egală cu L din R barat

atunci șirul xn supra yn are limita și limita acestui șir este chiar egală cu L

În etapa a doua a rezolvării exercițiului identificăm șirul xn și șirul yn

Dacă am avea aici un raport ar fi foarte simplu de identificat cine e xn și cine e yn

xn ar trebui să fie numărătorul raportului și yn este numitorul raportului

Noi nu avem aici un raport, dar cum această paranteză se înmulțește cu 1 supra n

am putea rescrie termenul general al șirului ca fiind

1 plus 1 pe 2 plus puncte puncte puncte plus 1 pe n totul supra n

Acum pare evident că xn ar trebui să fie 1 plus 1 pe 2 plus puncte puncte puncte plus 1 pe n și yn ar trebui să fie n

Acum după ce am identificat șirurile xn și yn urmează să verificăm dacă aceste două șiruri respectă condițiile a și b din teoremă

Șirul yn egal cu n este șirul numărelor naturale 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe

Acest șir este un șir strict crescător, este nemărginit și are toți termenii diferiți de 0

Verificăm acum condiția b și pentru asta calculăm limită când întindem de la infinit din xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn

Înlocuim xn plus 1 cu 1 plus 1 pe 2 plus puncte puncte puncte plus 1 pe n plus 1 pe n plus 1

xn cu 1 plus 1 pe 2 plus 1 pe n și ținem cont că xn are semnul minus în față

yn plus 1 este n plus 1, yn este n

Se reduc foarte mulți termeni adică 1 și minus 1, 1 pe 2 minus 1 pe 2 și așa mai departe

Până la 1 pe n cu minus 1 pe n și la numitor n cu minus n

Este egal cu limită când întindem de la infinit din 1 supra n plus 1 și această limită știm că este egală cu 0

Și condiția b din teoremă este verificată, limita lui xn plus 1 minus xn supra yn plus 1 minus yn este egală cu 0

Care este un număr din R barat

Deci putem folosi teorema lui Stoltz-Cezaro și rezultă că limită când întindem de la infinit din 1 supra n pe lângă 1 plus 1 pe 2 plus puncte puncte puncte plus 1 pe n este egală cu 0

Câteva comentarii

Pentru că textul acestui exercițiu cerea ca să calculăm limita acestui șir folosind teorema Stoltz-Cezaro

Nu am analizat care ar fi limita acestei paranteze și limita lui n

În mod evident, când n tinde la infinit, n tinde la infinit, deci 1 pe n tinde către 0

Iar când n tinde la infinit, în această paranteză avem o sumă infinită de termeni

Am reprezentat termenii acestui șir

Pentru n egal cu 1 avem x1 egal cu 1

Dacă n este egal cu 2, x2 este egal cu 1 plus 1 pe 2, adică 1,5

Dacă n este egal cu 3, x3 este 1 plus 1 pe 2 plus 1 pe 3

Care este egal cu 11 supra 6, adică 1,8 perioada 3

Și așa mai departe, dacă de exemplu n este egal cu 100, x100 este 5,18738

Termenii acestui șir sunt termenii unui șir divergent

El este un șir renumit, este șirul sumelor parțiale al seriei armonice 1 plus 1 pe 2 plus 1 pe 3 plus puncte puncte puncte

Nu am să insist mai mult asupra acestei serii armonice, ea este renumită

Puteți găsi foarte multe informații despre ea în orice carte de specialitate

Ce merită reținut este faptul că în cadrul acestui exercițiu ar fi trebuit să calculăm limita unui raport

În care numărătorul este un șir divergent, iar numitorul este un șir cu limita plus infinit