Criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon
Criteriul de convergență cu epsilon. Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(l\in \mathbb{R}\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(\left | x_{n}-l \right |< \varepsilon .\)
Criteriul cu epsilon pentru limită infinită
Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(+\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}> \varepsilon .\)
Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(-\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}< - \varepsilon .\)
Criteriul cu epsilon pentru limită infinită
Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(+\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}> \varepsilon .\)
Şirul \(\left ( x_{n} \right )\) are limita \(-\infty\) dacă şi numai dacă \(\forall \varepsilon> 0\), există un rang \(n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}^{*}\) astfel încât \(\forall n\geqslant n_{\varepsilon }\) să avem \(x_{n}< - \varepsilon .\)