Vecinătăţile unui număr real

Definiţie. Fie \(a\in \mathbb{R}.\)  Se numeşte vecinătate a punctului \(a\) orice submulţime \(V\subseteq \mathbb{R}\) care conţine un interval deschis centrat in \(a.\)
(V este vecinătate a punctului \(a\) \(\Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0,\) astfel încât \((a-\varepsilon ,a+\varepsilon )\subseteq V\) ).
Observaţii.

• Un număr real \(a\) are o infinitate de vecinătăţi şi vom nota mulţimea acestora cu \(\vartheta (a).\)
• Vecinătăţile lui \(+\infty\) sunt intervale de forma \((a,+\infty ].\)
• Vecinătăţile lui \(-\infty\) sunt intervale de forma \([-\infty ,a).\)

Definiţie. Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, a\in \overline{\mathbb{R}}.\) Numărul \(a\) se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea A, dacă orice vecinătate V a lui \(a\) mai conţine şi alte puncte din A, diferite de \(a\)  \((V-\left \{ a \right \}\cap A\neq \varnothing ).\)
Definiţie. Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, a\in \overline{\mathbb{R}}.\) Numărul \(a\) se numeşte punct izolat pentru mulţimea A dacă nu este punct de acumulare (există cel puţin o vecinătate V a punctului \(a\) astfel încât \(V\cap A=\left \{ a \right \}.\)