Criteriul cleştelui
127 vizualizări · 6 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
a) \(x_{n}\leqslant y_{n}\leq z_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}\)
b) \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= \lim_{n \to \infty }z_{n}= l\)
Atunci \(\lim_{n \to \infty }y_{n}= l\).
Muzica
În acest clip vom rezolva următorul exercițiu. Limită când N tinde la infinit din 2N ori sinus de N factorial supra N pătra plus 3.
Sinusul este întotdeauna cuprins între minus 1 și 1 și pornind de la această inegalitate, vom calcula limita folosind criteriul cleștelui.
Schematic, acest criteriu se poate enunța în felul următor dacă xN, aN și yN sunt 3 șiruri, astfel încât xN să fie mai mic sau egal decât aN, mai mic sau egal decât yN, oricare ar fi N,
și dacă șirurile xN și yN au aceeași limită L, atunci șirul aN va avea limita L.
Să rescriem această inegalitate punând în locul xN factorial. Avem minus 1 mai mic sau egal decât sinus de N factorial mai mic sau egal decât 1.
Vom construi șirul dat înmulțind această dublă inegalitate cu 2N supra N pătra plus 3.
N este număr pozitiv, prin urmare semnul inegalității se păstrează.
Vom obține minus 2N supra N pătra plus 3, mai mic sau egal decât 2N supra N pătra plus 3, ori sinus de N factorial mai mic sau egal decât 2N supra N pătra plus 3.
Primul șir are limita 0, la fel și ultimul șir deoarece gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.
Desigur, putem calcula limita acestor șiruri scoțând factor comun forțat pe N la puterea cea mai mare.
Voi face acest calcul imediat când voi prezenta o a doua metodă de rezolvare a acestui exercițiu.
Conform criteriului cleștelui, șirul din mijloc va avea și el limita 0, așadar limita când N tinde la infinit din 2N sinus de N factorial supra N pătra plus 3 este egală cu 0.
În continuare, iată o a doua metodă de rezolvare.
Voi rescrie limita punând în evidență produsul a două șiruri.
Primul este șirul 2N supra N pătra plus 3, iar al doilea este șirul sinus de N factorial.
În felul acesta vom putea aplica o proprietate importantă a șirurilor și anume, produsul dintre un șir convergent la 0 și un șir mărginit este un șir convergent la 0.
Pentru primul șir vom da factor comun forțat pe N la puterea cea mai mare și obținem limită când N tinde la infinit din 2N supra N pătrat pe lângă 1 plus 3 supra N pătrat înmulțit cu sinus de N factorial.
Se simplifică N, iar șirul 3 supra N pătrat tinde la 0.
Ne rămâne limită din 2 supra N ori sinus de N factorial.
2 supra N tinde la 0, șirul sinus de N factorial este mărginit și aplicând proprietatea menționată limita va fi egală cu 0.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.