Teorema lui Weierstrass - demonstrație

Teoremă (Proprietatea lui Weierstrass). Orice şir monoton şi mărginit este convergent.

• Dacă \(\left ( x_{n} \right )\)  este un şir crescător şi mărginit superior, atunci \(\left ( x_{n} \right )\)  este convergent.
• Dacă \(\left ( x_{n} \right )\)  este un şir descrescător şi mărginit inferior, atunci \(\left ( x_{n} \right )\)  este convergent.

Proprietatea lui Weierstrass conduce la următorul rezultat:
Lema lui Cesaro. Orice şir mărginit conţine cel puţin un subşir convergent.