Teorema lui Weierstrass - demonstrație

Știm că orice șir convergent de numere reale este mărginit, dar nu orice șir mărginit de numere reale este convergent.

Proprietatea de mărginire a unui șir trebuie completată cu alte proprietăți ale șirului pentru a asigura convergența acestuia.

Un rezultat important în această privință îl constituie teorema lui Weierstrass.

În acest videoclip voi prezenta și demonstra acest rezultat.

Să vedem întâi cine a fost Weierstrass.

Karl Theodor Wihelm Weierstrass, născut în 31 octombrie 1815 și decedat în 19 februarie 1897, a fost un matematician german considerat părintele analizei matematice.

Teorema sau proprietatea lui Weierstrass ne spune că

Dacă un șir este monoton crescător și mărginit superior, atunci șirul este convergent.

Dacă un șir este monoton descrescător și mărginit inferior, atunci șirul este convergent.

De fapt, această teoremă ne spune că

Orice șir monoton și mărginit este convergent.

Deci proprietatea de mărginire a unui șir trebuie completată cu proprietatea de monotonie pentru a asigura convergența acestuia.

Să ne reamintim ce înseamnă că șirul Xn este un șir monoton crescător.

Xn, un șir de numere reale, este monoton crescător.

Dacă și numai dacă, X1 este mai mic sau egal cu X2, care este la rândul său mai mic sau egal cu X3, care este la rândul său mai mic sau egal cu X4, și așa mai departe.

Vom avea că Xn este mai mic sau egal cu Xn plus 1 și șirul de inegalități continua.

Cu alte cuvinte, Xn trebuie să fie mai mic sau egal decât Xn plus 1 pentru orice n din n-stelat.

Similar, putem defini șirul monoton descrescător.

Dacă Xn este un șir de numere reale, el este un șir monoton descrescător.

Dacă și numai dacă, X1 este mai mare sau egal decât X2, care la rândul său este mai mare sau egal decât X3, și șirul de inegalități continua.

Xn este mai mare sau egal decât Xn plus 1, și așa mai departe.

Adică, Xn este mai mare sau egal decât Xn plus 1 pentru orice n din n-stelat.

Spunem că un șir este monoton dacă este monoton crescător sau monoton descrescător.

Să ne reamintim acum ce înseamnă că un șir este mărginit superior, respectiv mărginit inferior.

Un șir de numere reale, Xn, este mărginit superior dacă toți termenii șirului sunt mai mici sau egali cu un număr real.

Matematic putem scrie acest lucru astfel, există m număr real astfel încât Xn să fie mai mic sau egal cu m pentru orice n din n-stelat.

Analog, avem că un șir de numere reale, Xn, este mărginit inferior dacă toți termenii șirului sunt mai mari sau egali cu un număr real.

Adică, dacă există m număr real cu proprietatea că Xn este mai mare sau egal cu m pentru orice n din n-stelat.

Punem că un șir este mărginit, dacă este mărginit superior și mărginit inferior.

Adică, dacă toți termenii șirului pot fi încadrați între două numere reale.

De exemplu, acest șir este monoton descrescător, vedem că fiecare termen al șirului este mai mare decât termenul următor și este un șir mărginit inferior,

toți termenii șirului sunt mai mari decât 0 și evident este mărginit superior de primul termen al șirului, care este 1.

În acest exemplu avem un șir crescător, fiecare termen al șirului este mai mic decât termenul următor și de asemenea este un șir mărginit superior,

vedem că toți termenii șirului sunt mai mici decât 4 și evident este mărginit și inferior pentru că cel mai mic termen al șirului este chiar primul termen, adică 1.5.

Acum după ce am reamintit noțiunile matematice din teorema lui Weierstrass pe care le-ați studiat cu ceva timp în urmă, adică monotonia și mărginirea unui șir,

voi demonstra sub punctul A al acestei teoreme.

Voi presupune că avem șirul de numere reale xn, un șir crescător și mărginit superior.

Vreau să demonstrez că acest șir este convergent, adică vreau să arăt că pentru orice epsilon pozitiv există un rang N de epsilon din N-stea, astfel încât modul din xn minus L să fie mai mic decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon.

Faptul că modul din xn minus L e mai mic decât epsilon e echivalent cu L minus epsilon e mai mic decât xn și mai mic decât L plus epsilon.

Problema este că de fapt eu nu îl știu pe L și de fapt definiția asta a convergenței unui șir este incompletă.

Criteriul de convergență cu epsilon ne spune că L aparținându-i R este limita șirului xn, dacă și numai dacă pentru orice epsilon pozitiv există un rang N de epsilon din N-stea,

astfel încât modul din xn minus L să fie mai mic decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon.

Deci, care ar trebui să fie etapele demonstrației?

În primul rând ar trebui să-l determin pe L, apoi trebuie să arăt că pentru orice epsilon pozitiv există N de epsilon din N-stea cu proprietatea că modul din xn minus L e mai mic decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon.

Deci, ar trebui să aleg un epsilon arbitrar pozitiv, apoi trebuie să-l determin pe N de epsilon, acel rang începând de la care toți termenii șirului se găsesc între L minus epsilon și L plus epsilon

și apoi trebuie să demonstrez care loc această inegalitate sau aceste două inegalități pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon.

Deci, voi alege un N număr natural oarecare și în final trebuie să arăt că pentru N mai mare sau egal cu N de epsilon modul din xn minus L este mai mic decât epsilon, adică

voi presupune că N este mai mare sau egal cu N de epsilon și voi demonstra că L minus epsilon mai mic decât xn mai mic decât L plus epsilon.

Bun, deci să vedem cine ar putea fi L.

Noi avem un șir xn monoton crescător și mărginit superior.

Am reprezentat termenii șirului pe axă.

Intuitiv ne dăm seama că termenii șirului se aglomerează, ca să zic așa, în această zonă, în jurul unui punct care ar putea să fie limita șirului.

Dar cum aș putea determina acel punct?

Am putea spune că acest L ar putea fi cel mai mare termen al șirului, dar cum șirul are o infinitate de termeni, nu vom avea un cel mai mare termen al șirului.

Ce aș putea face ar fi să spun că acest L este supremumul sau marginea superioară a mulțimii termenilor șirului.

Și pot face acest lucru pentru că dacă notez mulțimea termenilor șirului cu A mare, adică A mare este egal cu x1, x2, x3 și așa mai departe,

și știm că șirul xn este un șir marginit superior, înseamnă că mulțimea A mare va fi marginită superior, ceea ce înseamnă că mulțimea A mare are o margină superioară, pe care noi am notat-o cu sub A.

Vă reamintesc că marginea superioară a lui A este cel mai mic majorant al mulțimii A.

Acest L pe care vroiam să-l determin va fi tocmai marginea superioară a lui A, adică L egal cu sub A.

Și tot ceea ce îmi rămână de făcut este să arăt că acest L este limita șirului xn.

Pentru aceasta voi considera un epsilon pozitiv arbitrar ales, adică fie epsilon mai mare decât 0.

Voi lua intervalul centrat în L, L minus epsilon, L plus epsilon.

Și trebuie să arăt că toți termenii șirului, cu excepția unui număr finit de termeni, se găsesc în intervalul L minus epsilon, L plus epsilon.

L minus epsilon este clar mai mic decât L, pentru că epsilon este un număr pozitiv și L minus epsilon nu poate fi un majorant al mulțimii A, pentru că L este cel mai mic majorant al mulțimii A.

Înseamnă că există cel puțin un termen al șirului care se găsește între L minus epsilon și L.

Voi nota cu N de epsilon rangul acestui termen al șirului.

Și am să și marchez acest termen aici pe desen, l-am marcat cu MOV.

Acest termen al șirului este termenul x-indice N de epsilon.

Înseamnă că există N de epsilon, un număr natural nenul, astfel încât L minus epsilon este mai mic decât x-indice N de epsilon este mai mic decât L.

Dar odată ce am găsit un termen între L minus epsilon și L, pentru că șirul este monoton crescător, toți termenii cu rang mai mare decât N de epsilon trebuie să fie mai mari decât x-indice N de epsilon.

Acești termeni se aglomerează între x-indice N de epsilon și L.

Deci pentru N, un număr natural fixat, mai mare sau egal cu N de epsilon, avem L minus epsilon mai mic decât x-indice N de epsilon.

Pentru că așa am ales N de epsilon, să fie rangul acelui termen al șirului care se găsește cu siguranță între L minus epsilon și L.

Pentru că xN este un șir crescător și noi avem că N este mai mare sau egal cu N de epsilon, înseamnă că x-indice N de epsilon este mai mic sau egal cu x-indice N.

Și pentru că L este marginea superioară a lui A, avem că x-indice N este mai mic sau egal decât L.

Pentru că epsilon este pozitiv, avem că L plus epsilon este mai mare decât L, deci avem L mai mic decât L plus epsilon.

Adică am arătat că L minus epsilon este mai mic decât x-indice N, care este mai mic decât L plus epsilon pentru orice N mai mare sau egal decât N de epsilon.

Adică exact ceea ce ar fi trebuit să arătăm pentru ca L să fie limita șirului xN.

Și cu aceasta demonstrația este încheiată.

Demonstrația sub punctul B din teoremă este analogă cu demonstrația punctului A.

Evident, în cazul în care șirul este monoton descrescător și mărginit inferior, L va fi marginea inferioară a mulțimii A,

mulțimea termenilor șirului, și vă reamintesc că marginea inferioară este cel mai mare minorant al mulțimii A.