Teorema lui Weierstrass - Aplicații - Studiul convergenței șirurilor date prin relații de recurență

În acest videoclip voi utiliza proprietatea lui Weierstrass în studiul convergenței unui șir dat printr-o relație de recurență.

Se consideră șirul AN dat prin A1 egal cu radical din 2 și AN plus 1 egal cu radical din 2 plus AN, când N aparține lui N-stea.

Ni se cere să studiem convergența acestui șir și dacă șirul este convergent să determinăm limita sa.

Să ne reamintim ce spune proprietatea lui Weierstrass.

Dacă XN este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este un șir convergent

și dacă XN este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci șirul XN este convergent.

Deci pentru a studia convergența acestui șir trebuie de fapt să studiem monotonia sau mărginirea sa.

Pentru a face acest lucru nu strică să vedem cam cum arată termenii acestui șir.

Vom scrie primii 3-4 termeni ai șirului.

Opriți înregistrarea video și scrieți primii 4 termeni ai acestui șir.

Să obținem a1 egal cu radical din 2, a2 fiind radical din 2 plus a1 îl înlocuim pe a1 cu radical din 2 și obținem radical din 2 plus radical din 2

a3 este radical din 2 plus a2 și într-un final obținem radical din 2 plus radical din 2 plus radical din 2

a4 este radical din 2 plus a3

și aici avem deja 4 radicali

radical din 2 plus radical din 2 plus radical din 2 plus radical din 2

a1 este aproximativ egal cu 1.41

a2 este aproximativ egal cu 1.84

a3 este aproximativ egal cu 1.96

Valorile acestea le puteți calcula folosind calculatorul sau WolframAlpha pe internet

Ce constatăm din scrierea primilor termeni?

În primul rând, toți termenii șirului sunt pozitivi

ceea ce ar fi fost de așteptat pentru că în scrierea termenilor șirului ne apare radicalul

În al doilea rând, pare că termenii șirului sunt mai mici decât 2

ceea ce ar conduce către ideea de mărginire superioară a șirului

Să vedem dacă putem demonstra faptul că termenii șirului sunt mai mici decât 2

a1 este egal cu radical din 2

evident este mai mic decât 2

radical din 2 este aproximativ egal cu 1.41

a2 este egal cu radical din 2 plus a1

și pentru că a1 este mai mic decât 2

radical din 2 plus a1 va fi mai mic decât radical din 2 plus 2

radical din 2 plus 2 este 4

deci rezultă că a2 este mai mic decât 2

Continuăm cu a3

a3 este egal cu radical din 2 plus a2

a2 am arătat înainte că este mai mic decât 2

deci radical din 2 plus a2 va fi mai mic decât radical din 2 plus 2

care este 2

deci a3 este mai mic decât 2

Vom demonstra prin inducție că șirul an este mărginit superior de 2

Propoziția pdn este an mai mic decât 2 pentru orice n din n-stelat

etapa de verificare a fost parcursă

am arătat că a1 e mai mic decât 2

chiar și că a2 e mai mic decât 2 și a3 e mai mic decât 2

Presupunem pdk adevărat și vrem să arătăm că are loc pdk plus 1

Din moment ce pdk este adevărat înseamnă că ak este mai mic decât 2

și atunci ak plus 1 este radical din 2 plus ak

ak este mai mic decât 2

deci ak plus 1 este mai mic decât radical din 2 plus 2

care este 2

Deci am arătat și că ak plus 1 este mai mic decât 2

deci pdk plus 1 este adevărată

Pentru că pd1, pd2, pd3 au fost adevărate

și pdk adevărat implică pdk plus 1 adevărat

rezultă că propoziția pdn este adevărată

adică an este mai mic decât 2 pentru orice n din n-stelat

Am arătat că șirul an este mărginit superior

Voi continua cu studiul monotoniei șirului

pentru că acest șir să fie convergent

ar trebui ca șirul să fie monoton crescător

adică ar trebui să arătăm că an este mai mic sau egal decât an plus 1 pentru orice n din n-stelat

sau să arătăm că diferența dintre an plus 1 și an este mai mare sau egală cu 0

pentru orice n din n-stelat

voi demonstra această inegalitate fără a calcula diferența dintre an plus 1 și an

îl înlocuiesc pe an plus 1 cu radical din 2 plus an

și voi obține

putem ridica această inegalitate la pătrat

pentru că am arătat înainte că toți termenii șirului sunt pozitivi

de fapt sunt chiar mai mari decât 1

ridicând la pătrat obținem an pătrat mai mic sau egal cu 2 plus an

trecem acești doi termeni în membrul stâng

l-am descompus pe minus 2 în minus 1 minus 1

și am făcut o grupare de termeni

dar ați fi putut pur și simplu rezolva ecuația de grad 2 în an atașată în ecuație

pentru ca să putem face semnul lui an pătrat minus an minus 2

eu am descompus în factor, an plus 1 iese factor

și vom obține an plus 1 pe lângă an minus 2 mai mic sau egal cu 0

an mai mic sau egal cu an plus 1 a devenit echivalent cu

an plus 1 ori an minus 2 mai mic sau egal cu 0

soluțiile cu ecuație atașate sunt minus 1 și 2

am făcut semnul expresiei de gradul al doilea

între soluțiile cu ecuație atașate avem minus, în afară avem plus

de fapt termenii șirului an sunt cuprinși între 0 și 2

am arătat că șirul este mărginit superior de 2

și că termenii șirului sunt mai mari decât 0

am hașurat porțiunile care nu ne interesează

și vedem că între 0 și 2 expresia are semnul minus, deci va fi negativă

rezulta că an plus 1 pe lângă an minus 2 este mai mic decât 0

pentru orice an din intervalul deschis 0 deschis 2

an nu poate avea niciodată valoarea 2

am arătat-o la mărginirea șirului

înseamnă că de fapt noi am obținut că an este un șir strict crescător

pentru că an este mai mic strict decât an plus 1 pentru orice n din n-stelat

am obținut că an este mărginit superior

am notat această relație de inegalitate cu 1

și am obținut că an este un șir strict crescător

am notat acest rezultat cu 2

din 1 și 2, pe bază a proprietății lui Weierstrass

rezultă că an este un șir convergent

adică are limită finită

înseamnă că există un număr real

l este limita șirului an

să determinăm acum limita șirului an

adică să-l determinăm pe l

pornim de la relația de recurrență

an plus 1 egal cu radical din 2 plus an

și trecem la limită ambii membri ai egalității

vom avea că limită când entindem la plus infinit din an plus 1

este egală cu limită când entindem la plus infinit din radical din 2 plus an

cum limita poate trece sub radical

avem că limită când entindem la infinit din an plus 1

este egală cu radical din 2 plus limită când entindem la infinit din an

cum noi am notat cu l limita șirului an

înseamnă că în această relație de egalitate

putem să înlocuim limită când entindem la infinit

din an plus 1 cu l

limită când entindem la plus infinit din an este tot l

și obținem că l egal cu radical din 2 plus l

ridicăm la pătrat această relație de egalitate

membru stâng și membru drept sunt amândoi pozitiv

pentru că dacă termenii șirului an sunt pozitiv

și limita șirului an va fi pozitiva

vom obține l pătrat egal cu 2 plus l

trecem 2 plus l în membrul stâng

obținem o ecuație de gradul 2

pe care o rezolvăm și obținem soluțiile 2 și minus 1

an este un șir cu toți termenii pozitiv

am arătat acest lucru chiar la începutul rezolvării exercițiului

înseamnă că șirul dacă are limita atunci limita sa este pozitivă

deci limita șirului an este egală cu 2