Teorema lui Weierstrass - Aplicații - Studiul convergenței unui șir dat prin termen general

În acest videoclip voi folosi proprietatea lui Weierstrass pentru a studia convergența unui șir dat prin termenul său general.

Avem următorul exercițiu.

Să se studieze convergența șirului cu termenul general a n equal cu 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat plus puncte, puncte, puncte plus 1 supra n pătrat.

Să scriem câțiva termeni ai șirului.

Obținem a1 equal cu 1 supra 1 la pătrat, adică a1 este equal cu 1.

a2 va fi 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat, adică va fi 1 plus 1 pe 4 este 5 supra 4.

a3 este 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat plus 1 supra 3 la pătrat, adică este 1 plus 1 pe 4 plus 1 pe 9, dacă aducem aici la numitor comun, obținem 49 supra 36.

Pentru că exercițiul ne cere să studiem convergența șirului, verificăm dacă putem folosi teorema lui Weierstrass.

Teorema sau proprietatea lui Weierstrass ne spune că dacă xn este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este convergent,

respectiv dacă xn este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci el este convergent.

Acești primi termeni ai șirului ne arată că există șanse ca acest șir să fie monoton crescător.

Înseamnă că ceea ce ne propunem în continuare este să verificăm dacă șirul an este monoton crescător și mărginit superior.

În condițiile în care putem demonstra monotonia și mărginirea, atunci putem trage concluzia că șirul an este un șir convergent.

Vom începe cu studiul monotoniei.

Să ne reamintim că un șir este monoton dacă el este monoton crescător sau monoton descrescător.

Un șir este monoton crescător dacă și numai dacă xn e mai mic sau egal cu xn plus 1 pentru orice n din n-stelat,

cu alte cuvinte dacă diferența dintre xn plus 1 și xn este mai mare sau egală cu 0 pentru orice n din n-stelat.

Similar, șirul este monoton descrescător dacă xn e mai mare sau egal cu xn plus 1 pentru orice n din n-stelat,

adică dacă diferența dintre xn plus 1 și xn este negativă pentru orice n din n-stelat.

Pentru a verifica monotonia unui șir este suficient să calculăm diferența dintre xn plus 1 și xn.

Dacă această diferență este mai mare sau egală cu 0 pentru orice n, atunci șirul este monoton crescător.

Dacă această diferență este mai mică decât 0 pentru orice n, atunci șirul este monoton descrescător.

Deci calculăm diferența dintre xn plus 1 și xn.

Optimam 1 superhero la patrat plus 1 supera doi la patrat plus

Punte punte plus 1 super N la pătrat plus 1 supra N plus 1 la pătrat

An este 1 supra unul l-a pătrat plus 1 supra doi la pătrat plus puncte puncte punte plus 1 supra el la pătrat

A N plus 1 trebuie să meargă cu pătratele numitorilor până la N plus 1 la pătrat

Minus și acum îl scriu pe A N adică 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat plus

Plus 1 supra N la pătrat

Desfac paranteza și obținem 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat plus

Plus 1 supra N la pătrat plus 1 supra N plus 1 la pătrat

Și acum toți termenii din paranteză vor avea semnul minus în față adică voi avea minus 1 supra 1 la pătrat minus 1 supra 2 la pătrat minus minus 1 supra N pătrat

Toți termenii până la 1 supra N pătrat se vor reduce înseamnă că diferența este egală de fapt cu 1 supra N plus 1 la pătrat

Care este evident un număr chiar mai mare strict decât 0 deci șirul A N este un șir strict crescător

Deci prima condiție din ipoteza proprietății lui Weierstrass este verificată șirul este monoton crescător

Mai trebuie să verificăm acum dacă este mărginit superior

Reamintesc că un șir XN este mărginit superior dacă și numai dacă există un număr real îl am notat cu M

Astfel încât toți termenii șirului să fie mai mici sau egali cu acest M

Analog XN este mărginit inferior dacă și numai dacă există un număr real M

Astfel încât XN mai mare sau egal cu M pentru orice N din N stea adică toți termenii șirului sunt mai mari sau egali cu M

Pe noi ne interesează mărginirea superioară pentru că am arătat că șirul este strict crescător

Deci trebuie să găsim un număr real M mare astfel încât AN să fie mai mic sau egal decât acel număr

Este greu de spus cine ar putea să fie acel număr real M

Am văzut că A1 este egal cu 1

A2 este egal cu 5 supra 4 adică cu 1.25

A3 este 49 supra 36 adică 1.36

Probabil că AN va fi mai mic decât 2

Dar nu știm sigur

AN este 1 supra 1 la pătrat plus 1 supra 2 la pătrat plus 1 supra N la pătrat

Adică este 1 plus 1 pe 2 la a doua plus 1 pe 3 la a doua plus 1 supra N la pătrat

Dacă suma din această paranteză este mai mare decât 1

Atunci AN va fi mai mare decât 2

Dacă suma din această paranteză este mai mică decât 1

Atunci AN va fi mai mic decât 2

Și atunci pentru a compara suma din această paranteză cu 1

Vom vedea dacă putem să-l încadrăm pe 1 supra N pătrat

Pentru că dacă vom putea găsi un număr care să fie mai mare decât 1 supra N pătrat

Vom putea găsi un număr care să fie mai mare și decât 1 supra 2 la a doua sau 1 supra 3 la a doua

Și așa mai departe

N pătrat este egal cu N ori N în mod evident

Și știm sigur că N este mai mare decât N minus 1

Și asta e adevărat pentru orice N din N stelat

Pentru că N pătrat este mai mare decât N pe lângă N minus 1

Rezultă că 1 supra N pătrat este mai mic decât 1 supra N pe lângă N minus 1

Am inversat cele două numere și atunci mai mare devine mai mic

Și această inegalitate este adevărată pentru orice N mai mare sau egal cu 2 număr natural

Nu are voie să mi se anuleze numitorul

Dacă N ar fi 1 atunci aș avea aici 0

Și acum să luăm fracția 1 supra N pe lângă N minus 1

Această fracție este egală cu 1 supra N minus 1 minus 1 supra N

Pentru că dacă am aduce la același numitor

Aici ar trebui să amplificăm cu N

Aici cu N minus 1

Și am obține N minus paranteză N minus 1 supra N pe lângă N minus 1

Adică ar fi egal cu N minus N plus 1 supra N pe lângă N minus 1

Deci este adevărată această egalitate

Și atunci în această inegalitate

Voi înlocui 1 supra N pe lângă N minus 1 cu

1 supra N minus 1 minus 1 supra N

Obținem 1 supra N pătrat

Mai mic decât 1 supra N minus 1 minus 1 supra N

Pentru orice N natural mai mare sau egal cu 2

Dacă această inegalitate este adevărată pentru orice N mai mare sau egal cu 2

Am să o scriu pentru N egal cu 2, pentru N egal cu 3, pentru N egal cu 4

Și așa mai departe

Voi obține 1 supra 2 la a doua

Mai mic decât 1 supra 2 minus 1 adică 1 minus 1 supra 2

Acum îl iau pe N egal cu 3

1 supra 3 la a doua

Este mai mic decât 1 supra 3 minus 1 adică 2 minus 1 supra 3

Acum îl iau pe N egal cu 4

1 supra 4 la a doua

Este mai mic decât 1 supra 4 minus 1 care este 3

minus 1 supra 4

Și continui să scriu această inegalitate pentru numerele naturale

Până la N

Deci ultima relație de inegalitate va fi

1 supra N pătrat mai mic decât

1 supra N minus 1

minus 1 supra N

Adunam acum aceste inegalități membru cu membru

Și atunci în membrul stâng vom obține

Suma 1 pe 2 la a doua plus 1 pe 3 la a doua plus 1 pe 4 la a doua

și așa mai departe

plus 1 pe N la a doua

mai mic decât

Și acum adunăm toți termenii din membrul drept al fiecarei inegalități

și vom obține

1 supra 1 adică 1

minus 1 pe 2 plus 1 pe 2

minus 1 pe 3 plus 1 pe 3

și așa mai departe

plus 1 pe N minus 1 minus 1 supra N

Aici de fapt am avea minus care urma

minus 1 pe 4

Observăm că în membrul drept al acestei inegalități se reduc

mulți termeni

adică minus 1 pe 2 cu plus 1 pe 2

minus 1 pe 3 cu plus 1 pe 3

1 pe N minus 1 se reduce cu un minus 1 pe N minus 1 ce a fost anterior

și în final această inegalitate devine

1 supra 2 la a doua plus 1 supra 3 la a doua

plus 1 supra N la a doua

mai mic decât 1

minus 1 pe N

Am arătat că suma din această paranteză este mai mică decât

1 minus 1 pe N

înseamnă că a N va fi mai mic decât

1 plus 1 minus 1 pe N

care este egal cu 2 minus 1 pe N

și pentru că din 2 scădem o cantitate pozitivă

1 pe N fiind pozitiv

ne rezultă că a N va fi mai mic decât 2

Deci am arătat că șirul a N este mărginit superior

Am arătat că șirul a N este strict crescător

Am arătat că șirul a N este mărginit superior

Înseamnă că pe baza proprietății lui Weierstrass

rezultă că a N este un șir convergent