Fie funcţia \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A\)  un punct de acumulare al mulţimii A. 
Definiţii:

• Numărul \(l_{s}\in \overline{\mathbb{R}}\) se numeşte limita la stânga a funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) dacă pentru orice şir \(\left ( x_{n} \right )\), \(x_{n}\in A\cap \left ( -\infty ,x_{0} \right )\) cu \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x_{0}\) să avem că \(\lim_{n \to \infty }f(x_{n})=l_{s}.\)
• Numărul \(l_{d}\in \overline{\mathbb{R}}\) se numeşte limita la dreapta a funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) dacă pentru orice şir \(\left ( x_{n} \right )\), \(x_{n}\in A\cap \left ( x_{0},+\infty \right )\) cu \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x_{0}\) să avem că \(\lim_{n \to \infty }f(x_{n})=l_{d}.\)

Teoremă (Criteriu de existenţă a limitei unei funcţii într-un punct). Funcţia \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) are limită în punctul \(x_{0}\) dacă şi numai dacă limitele laterale ale funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) există şi sunt egale:
\(l_{s}\left ( x_{0} \right )=l_{d}\left ( x_{0} \right )= \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x).\)

Teoremă (Criteriul majorării pentru limite finite). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii,  \(x_{0}\) un punct de acumulare al mulţimii A, iar V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= 0\) şi există \(l\in \mathbb{R}\) astfel încât \(\left | f(x)-l \right |\leq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= l.\)

Teoremă (Criteriul majorării pentru limite infinite). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii,  \(x_{0}\) un punct de acumulare al mulţimii A, iar V o vecinătate a lui \(x_{0}\).

• Dacă \(f(x)\geq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= +\infty\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= +\infty .\)
• Dacă \(f(x)\leq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= -\infty\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty .\)

Teoremă (trecerea la limită în inegalităţi). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru mulţimea A şi V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(f(x)\leq g(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi dacă \(f\) şi \(g\) au limite în punctul \(x_{0}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x).\)

Teoremă (Criteriul cleştelui). Fie \(f,g,h:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru mulţimea A şi V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(f(x)\leq g(x)\leq h(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)= l\) atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=l.\)

1. Limita funcţiei constante
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c, c\in \mathbb{R}\). 
Atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= c, \forall x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}.\)

2. Limita funcţiei polinomiale
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie polinomială de grad n \(\left ( n\in \mathbb{N} \right )\), \(f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}, a_{0}\neq 0.\)

• Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu \(x_{0}\): \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)
• Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare infinit, atunci limita funcţiei polinomiale este aceeaşi cu limita termenului de grad maxim:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty }a_{0}x^{n}\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty }a_{0}x^{n}.\)

3. Limita funcţiei raţionale
Fie \(f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}, f:\mathbb{R}-\left \{ x\mid Q(x)= 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\), unde P şi Q sunt funcţii polinomiale.

• Limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care nu se anulează numitorul este egală cu valoarea ei în acel punct:

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{P(x_{0})}{Q(x_{0})}, Q(x_{0})\neq 0.\)

• Pentru a calcula limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care se anulează numitorul, vom analiza următoarele situaţii:

a) Dacă şi numărătorul P(x) se anulează în  \(x_{0}\), atunci simplificăm mai întâi fracţia prin \(x-x_{0}.\)
b) Dacă numărătorul P(x) nu se anulează în \(x_{0}\), atunci se calculează limitele laterale.

• Pentru a calcula limita funcţiei raţionale la \(\pm \infty\) se compară gradul numărătorului cu gradul numitorului.

 

1) Funcţia radical de ordin par
Fie \(f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty), f(x)=\sqrt[n]{x}, n-par\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare.
Atunci: 

• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[n]{x}= \sqrt[n]{x_{0}}\)
• \(\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt[n]{x}= +\infty .\)

2) Funcţia radical de ordin impar
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt[n]{x}, n-impar\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare.
Atunci: 

• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[n]{x}= \sqrt[n]{x_{0}}\)
• \(\lim_{x\rightarrow-\infty }\sqrt[n]{x}= -\infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt[n]{x}= +\infty .\)

3) Funcţia exponenţială
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty ), f(x)= a^{x}, a> 0, a\neq 1.\)

• dacă \(a> 1:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}a^{x}= a^{x_{0}}, \forall x_{0}\in \mathbb{R}\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}= 0\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}= +\infty .\)

• dacă \(0< a< 1:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}a^{x}= a^{x_{0}}, \forall x_{0}\in \mathbb{R}\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}= +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}= 0.\)

4) Funcţia logaritmică 
Fie \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= log_{a}x, a> 0, a\neq 1.\)

• dacă \(a> 1:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}log_{a}x= log_{a}x_{0}, \forall x_{0}\in \left ( 0,+\infty \right )\)

\(\lim_{x\rightarrow 0, x> 0}log_{a}x= -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow\infty }log_{a}x=\infty\)

• dacă \(0< a< 1:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}log_{a}x= log_{a}x_{0}, \forall x_{0}\in \left ( 0,+\infty \right )\)
\(\lim_{x\rightarrow 0, x> 0}log_{a}x= \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow\infty }log_{a}x=-\infty.\)
 

1. Funcţia sinus \(sin:\mathbb{R}\rightarrow \left [ -1,1 \right ]\)

• dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}\):

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sin x= \sin x_{0}\)

• dacă \(x_{0}= \pm \infty\), atunci funcţia sinus nu are limită.

2. Funcţia cosinus \(cos:\mathbb{R}\rightarrow \left [ -1,1 \right ]\)

• dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}\):

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}cos x=cos x_{0}\)

• dacă \(x_{0}= \pm \infty\), atunci funcţia cosinus nu are limită.

3. Funcţia tangentă \(tg:\mathbb{R}-\left \{ \left ( 2k+1 \right )\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z} \right \}\rightarrow \mathbb{R}\)

• dacă \(x_{0}\) aparţine domeniului de definiţie,  atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}\):

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}tgx= tgx_{0}\)

• dacă \(x_{0}= \frac{\pi }{2}\), atunci:

\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2},x< \frac{\pi }{2}}tgx= \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2},x> \frac{\pi }{2}}tgx=- \infty\)

4. Funcţia cotangentă \(ctg:\mathbb{R}-\left \{ k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \right \}\rightarrow \mathbb{R}\)

• dacă \(x_{0}\) aparţine domeniului de definiţie,  atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}\):

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}ctgx=ctgx_{0}\)

• dacă \(x_{0}= 0\), atunci

\(\lim_{x\rightarrow 0,x< 0}ctgx= -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 0,x> 0}ctgx= +\infty\)
 

1. Funcţia arcsinus \(arcsin:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ -\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2}\right ]\)

• limita funcţiei arcsinus în orice punct \(x_{0}\) al mulţimii de definiţie, se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}arcsinx= arcsinx_{0}.\) 

2. Funcţia arccosinus \(arccos:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ 0,\pi \right ]\)

• limita funcţiei arccosinus în orice punct \(x_{0}\) al mulţimii de definiţie, se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}arccosx= arccosx_{0}.\)

3. Funcţia arctangentă \(arctg:\mathbb{R}\rightarrow \left ( -\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right )\)

• dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}arctgx= arctgx_{0}.\)

• dacă \(x_{0}= \pm \infty\), atunci avem:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }arctgx= \frac{\pi }{2}\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }arctgx= -\frac{\pi }{2}.\)

4. Funcţia arccotangentă \(arcctg:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,\pi \right )\)

• dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe \(x\) cu \(x_{0}:\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}arcctgx= arcctgx_{0}.\)

• dacă \(x_{0}= \pm \infty\), atunci avem:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }arcctgx= 0\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }arcctgx= \pi .\)

Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru A, iar \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= l_{1}, \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= l_{2}.\)

• Limita sumei este egală cu suma limitelor: dacă operaţia  \(l_{1}+l_{2}\)  are sens în \(\overline{\mathbb{R}}\), atunci:

 \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f(x)+g(x) \right )= \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)+\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x).\)

• Limita produsului este egală cu produsul limitelor: dacă operaţia  \(l_{1}\cdot l_{2}\)  are sens în \(\overline{\mathbb{R}}\), atunci:

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f(x)\cdot g(x) \right )= \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x).\)

• Limita raportului este egală cu raportul limitelor: dacă operaţia  \(\frac{l_{1}}{l_{2}}\)  are sens în \(\overline{\mathbb{R}}\) şi \(g(x)\neq 0, \forall x\in A\),  atunci:

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}\)

• Limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului: dacă operaţia \(l_{1}^{l_{2}}\) are sens în \(\overline{\mathbb{R}}\), atunci:

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f(x) \right )^{g(x)}= \left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}\)​​​​​​​.

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie astfel încât \(+\infty ,-\infty\) sunt puncte de acumulare ale mulţimii A.
Definiţii:

• Dreapta \(y= a\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) pentru funcţia \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)= a\).
• Dreapta \(y= a\) este asimptotă orizontală spre \(-\infty\) pentru funcţia \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= a\).

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie astfel încât \(+\infty ,-\infty\) sunt puncte de acumulare pentru A şi \(m\in \mathbb{R}^{*},n\in \mathbb{R}.\).
Definiţii: 

• Dreapta \(y= mx+n\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\) a funcţiei \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ f(x)-mx-n \right ]= 0\) (distanţa dintre drepată şi graficul funcţiei, măsurată pe verticală, tinde către zero când \(x\) tinde către \(\infty\) ).
• Dreapta \(y= mx+n\) este asimptotă oblică spre \(-\infty\) a funcţiei \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ f(x)-mx-n \right ]= 0\) (distanţa dintre drepată şi graficul funcţiei, măsurată pe verticală, tinde către zero când \(x\) tinde către \(-\infty\) ).

Teoremă. Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\). 

• Dreapta \(y= mx+n\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\) a funcţiei \(f\) dacă şi numai dacă există \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}= m\in \mathbb{R}^{*}\) şi \(\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ f(x)-mx \right ]= n\in \mathbb{R}\).
• Dreapta \(y= mx+n\) este asimptotă oblică spre \(-\infty\) a funcţiei \(f\) dacă şi numai dacă există \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x}= m\in \mathbb{R}^{*}\) şi \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ f(x)-mx \right ]= n\in \mathbb{R}\).

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(a\) punct de acumulare finit pentru mulţimea A.
Definiţii:

• Dreapta \(x= a\) este asimptotă verticală la stânga pentru funcţia \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow a,x< a}f(x)= +\infty\) sau \(\lim_{x\rightarrow a,x< a}f(x)= -\infty\).
• Dreapta \(x= a\) este asimptotă verticală la dreapta pentru funcţia \(f\) dacă \(\lim_{x\rightarrow a,x> a}f(x)= +\infty\) sau \(\lim_{x\rightarrow a,x> a}f(x)= -\infty\).
• Dacă limitele laterale ale funcţiei \(f\) în \(a\) sunt infinite, atunci dreapta \(x= a\) este asimptotă verticală bilaterală.