Limite de funcţii 3
158 vizualizări · 5 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c, c\in \mathbb{R}\).
Atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= c, \forall x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}.\)
2. Limita funcţiei polinomiale
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie polinomială de grad n \(\left ( n\in \mathbb{N} \right )\), \(f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}, a_{0}\neq 0.\)
- Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu \(x_{0}\): \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)
- Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare infinit, atunci limita funcţiei polinomiale este aceeaşi cu limita termenului de grad maxim:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty }a_{0}x^{n}.\)
3. Limita funcţiei raţionale
Fie \(f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}, f:\mathbb{R}-\left \{ x\mid Q(x)= 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\), unde P şi Q sunt funcţii polinomiale.
- Limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care nu se anulează numitorul este egală cu valoarea ei în acel punct:
- Pentru a calcula limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care se anulează numitorul, vom analiza următoarele situaţii:
b) Dacă numărătorul P(x) nu se anulează în \(x_{0}\), atunci se calculează limitele laterale.
- Pentru a calcula limita funcţiei raţionale la \(\pm \infty\) se compară gradul numărătorului cu gradul numitorului.
În acest video voi calcula două limite ale unor funcții raționale.
Iată primul exercițiu.
Se cere să calculăm limită când x tinde la 0 din 7x supra 3x pătrat minus 5x.
Dacă îl înlocuim pe x cu 0, obținem 0 atât la numărător cât și la numitor.
Prin urmare, suntem în cazul de nedeterminare 0 pe 0.
Pentru a elimina această situație, vom simplifica fracția cu x.
Pentru început vom da factor comun pe x la numitor
și obținem limită când x tinde la 0 din 7x supra x pe lângă 3x minus 5.
Se simplifică x și rămâne limită când x tinde la 0 din 7 supra 3x minus 5.
În continuare putem să le înlocuim pe x cu 0 pentru că am eliminat cazul de nedeterminare
iar rezultatul final va fi minus 7 supra 5.
Al doilea exercițiu
Să calculăm limită când x tinde la 7 din x la a treia minus 49x supra x la a doua minus 7x.
Dacă îl vom înlocui pe x cu 7 la numărător,
vom obține 7 la a treia, adică 343 minus 343 egal cu 0.
De asemenea și numitorul se anulează când x este egal cu 7.
În consecință suntem din nou în cazul de nedeterminare 0 pe 0.
Vom da factor comun pe x atât la numărător cât și la numitor pentru a putea face simplificări.
Se obține limită când x tinde la 7 din x pe lângă x la a doua minus 49 supra x pe lângă x minus 7.
Se simplifică x și obținem limită când x tinde la 7 din x la a doua minus 49 supra x minus 7.
În continuare avem tot caz de nedeterminare 0 pe 0 și vom descompone numărătorul x la a doua minus 49 în factori
folosind formula a la a doua minus b la a doua egal cu a plus b pe lângă a minus b.
În consecință x la a doua minus 49 va fi egal cu x plus 7 pe lângă x minus 7.
Așadar vom avea limită când x tinde la 7 din x plus 7 pe lângă x minus 7 supra x minus 7.
În acest moment se poate simplifica fracția cu x minus 7 și am reușit în acest fel să eliminăm cazul de nedeterminare.
Vom avea limită când x tinde la 7 din x plus 7 iar rezultatul final va fi 7 plus 7 adică 14.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.