Limite de funcţii 3
1. Limita funcţiei constante
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c, c\in \mathbb{R}\).
Atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= c, \forall x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}.\)
2. Limita funcţiei polinomiale
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie polinomială de grad n \(\left ( n\in \mathbb{N} \right )\), \(f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}, a_{0}\neq 0.\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty }a_{0}x^{n}.\)
3. Limita funcţiei raţionale
Fie \(f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}, f:\mathbb{R}-\left \{ x\mid Q(x)= 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\), unde P şi Q sunt funcţii polinomiale.
b) Dacă numărătorul P(x) nu se anulează în \(x_{0}\), atunci se calculează limitele laterale.
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c, c\in \mathbb{R}\).
Atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= c, \forall x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}.\)
2. Limita funcţiei polinomiale
Fie \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie polinomială de grad n \(\left ( n\in \mathbb{N} \right )\), \(f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}, a_{0}\neq 0.\)
- Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu \(x_{0}\): \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)
- Dacă \(x_{0}\) este un punct de acumulare infinit, atunci limita funcţiei polinomiale este aceeaşi cu limita termenului de grad maxim:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty }a_{0}x^{n}.\)
3. Limita funcţiei raţionale
Fie \(f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}, f:\mathbb{R}-\left \{ x\mid Q(x)= 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}\), unde P şi Q sunt funcţii polinomiale.
- Limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care nu se anulează numitorul este egală cu valoarea ei în acel punct:
- Pentru a calcula limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit \(x_{0}\) în care se anulează numitorul, vom analiza următoarele situaţii:
b) Dacă numărătorul P(x) nu se anulează în \(x_{0}\), atunci se calculează limitele laterale.
- Pentru a calcula limita funcţiei raţionale la \(\pm \infty\) se compară gradul numărătorului cu gradul numitorului.