Limite de funcții 2
258 vizualizări · 12 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Definiţii:
- Numărul \(l_{s}\in \overline{\mathbb{R}}\) se numeşte limita la stânga a funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) dacă pentru orice şir \(\left ( x_{n} \right )\), \(x_{n}\in A\cap \left ( -\infty ,x_{0} \right )\) cu \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x_{0}\) să avem că \(\lim_{n \to \infty }f(x_{n})=l_{s}.\)
- Numărul \(l_{d}\in \overline{\mathbb{R}}\) se numeşte limita la dreapta a funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) dacă pentru orice şir \(\left ( x_{n} \right )\), \(x_{n}\in A\cap \left ( x_{0},+\infty \right )\) cu \(\lim_{n \to \infty }x_{n}= x_{0}\) să avem că \(\lim_{n \to \infty }f(x_{n})=l_{d}.\)
Teoremă (Criteriu de existenţă a limitei unei funcţii într-un punct). Funcţia \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) are limită în punctul \(x_{0}\) dacă şi numai dacă limitele laterale ale funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) există şi sunt egale:
\(l_{s}\left ( x_{0} \right )=l_{d}\left ( x_{0} \right )= \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x).\)
Se dă funcția f de x egal cu modul din x supra 3x și se cere să stabilim dacă funcția are limită în punctul 0.
Pentru început vom explicita modulul. Modulul unui număr real x este x dacă x e pozitiv și minus x dacă x e negativ.
Având în vedere că funcția va avea două forme, una pentru x negativ și cealaltă pentru x pozitiv, vom calcula limitele laterale la stânga și la dreapta punctului 0.
Limita la stânga este egală cu limită când x tinde la 0, x mai mic ca 0, din modul din x supra 3x și egal cu limită din minus x supra 3x.
Observăm că se simplifică x și rezultatul va fi minus 1 supra 3.
Limita la dreapta este egală cu limită când x tinde la 0, x mai mare ca 0, din modul din x supra 3x, egal cu limită din x supra 3x și egal cu 1 supra 3.
Observăm că cele două limite nu sunt egale, în consecință funcția nu are limită în punctul 0.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.