Criteriul majorării (pentru limite de funcţii)
Teoremă (Criteriul majorării pentru limite finite). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii, \(x_{0}\) un punct de acumulare al mulţimii A, iar V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= 0\) şi există \(l\in \mathbb{R}\) astfel încât \(\left | f(x)-l \right |\leq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= l.\)
Teoremă (Criteriul majorării pentru limite infinite). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii, \(x_{0}\) un punct de acumulare al mulţimii A, iar V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= 0\) şi există \(l\in \mathbb{R}\) astfel încât \(\left | f(x)-l \right |\leq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= l.\)
Teoremă (Criteriul majorării pentru limite infinite). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii, \(x_{0}\) un punct de acumulare al mulţimii A, iar V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
- Dacă \(f(x)\geq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= +\infty\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= +\infty .\)
- Dacă \(f(x)\leq g(x), \forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= -\infty\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty .\)