Definiţie. Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, f:A\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie reală de variabilă reală şi \(x_{0}\in A\cap A'.\) 
Funcţia \(f\) este continuă în punctul \(x_{0}\) dacă există \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)
Punctul \(x_{0}\) se numeşte punct de continuitate pentru funcţia \(f\).

Definiţie. O funcţie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) este discountinuă în punctul \(x_{0}\in A\) dacă nu este continuă în acest punct .
În consecinţă, \(f\) este discontinuă în \(x_{0}\in A\) dacă  \(f\) nu are limită în \(x_{0}\), sau dacă are limită în \(x_{0}\), aceasta nu este egală cu \(f(x_{0})\).
Punctul \(x_{0}\) se numeşte punct de discontinuitate pentru funcţia \(f\).

Observaţie. Nu se pune problema continuităţii unei funcţii în punctele în care nu este definită şi nici la \(\pm \infty .\)

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru A.
Definiţii.

• Funcţia \(f\) este continuă la stânga în \(x_{0}\) dacă există  \(\lim_{x\rightarrow x_{0},x< x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)
• Funcţia \(f\) este continuă la dreapta în \(x_{0}\) dacă există  \(\lim_{x\rightarrow x_{0},x> x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)

​​​​​​​

Teoremă. Funcţia \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) este continuă în \(x_{0}\) dacă şi numai dacă \(f\) este continuă la stânga şi la dreapta în \(x_{0}\):
\(\lim_{x\rightarrow x_{0},x< x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0},x> x_{0}}f(x)= f(x_{0}).\)

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A\) un punct de discountinuitate pentru funcţia \(f.\)
Definiţii.

• Punctul \(x_{0}\) se numeşte punct de discontinuitate de prima speţă pentru funcţia \(f\) dacă limitele laterale ale funcţiei  \(f\)în \(x_{0}\) există şi sunt finite.
• Punctul \(x_{0}\) se numeşte punct de discontinuitate de a doua speţă pentru funcţia \(f\) dacă cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) nu există sau nu este finită.

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, I\subseteq A.\)
Definiţie. Funcţia \(f\) este continuă pe mulţimea \(I\) dacă este continuă în fiecare punct din \(I\).
Dacă \(f\) este continuă pe tot domeniul de definiţie A, atunci spunem că \(f\) este funcţie continuă.
Observaţie. Orice funcţie elementară este funcţie continuă.

Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii continue în punctul \(x_{0}\in A\). Atunci:

1. Funcţia \(f+g\) este continuă în \(x_{0}\).
2. Funcţia \(\alpha f\) este continuă în \(x_{0}\).
3. Funcţia \(f\cdot g\) este continuă în \(x_{0}\).
4. Funcţia \(\frac{f}{g} \left ( g(x)\neq 0,\forall x\in A \right )\) este continuă în \(x_{0}\).
5. Funcţia \(f^{g}\) este continuă în \(x_{0}\) (dacă \(f(x)^{g(x)}\) are sens, \(\forall x\in A\)).

Definiţie. Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, I\subseteq A\) un interval. Spunem că funcţia \(f\) are proprietatea lui Darboux pe \(I\) dacă oricare ar fi punctele \(a,b\in I, a< b\) şi oricare ar fi numărul real \(\gamma\) cuprins între \(f(a)\) şi \(f(b)\), există cel puţin un punct \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f(c)= \gamma .\)

Teoremă (Cauchy-Weierstrass-Bolzano). Orice funcţie continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval. 
Observaţie. Reciproca teoremei este falsă (nu orice funcţie cu proprietatea lui Darboux este funcţie continuă).

Dacă o funcţie este continuă pe un interval şi are valori de semne contrare la capetele intervalului, atunci ecuaţia f(x)=0 are cel puţin o soluţie în acel interval. Are loc următoarea:

Teoremă. Fie \(a,b\in \mathbb{R}, a< b\) şi \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă pe \(\left [ a,b \right ]\).
Dacă \(f(a)\cdot f(b)< 0,\) atunci există cel puţin un punct \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f(c)= 0.\)
 

O funcţie continuă pe un interval I, care nu se anulează pe I, păstrează semn constant pe tot intervalul. Are loc următoarea:
Teoremă. Dacă \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) este o funcţie continuă pe intervalul \(I\) şi \(f(x)\neq 0, \forall x\in I\), atunci \(f\) are acelaşi semn pe intervalul \(I.\)

Teoremă (Weierstrass). Fie \(a,b \in \mathbb{R}, a< b\) şi \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă pe \(\left [ a,b \right ].\) 
Atunci \(f\) este mărginită şi îşi atinge marginile pe acest interval.