Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A,\)  \(x_{0}\) punct de acumulare al mulțimii A.
Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) are derivată în punctul \(x_{0}\) dacă există limita
  \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se numeşte derivata funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) şi se notează
  \(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.\)

Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\) dacă limita
  \(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există şi este finită.

Observaţie. Funcţia \(f\) nu este derivabilă în punctul \(x_{0}\) dacă limita \(f'(x_{0})\) nu există, sau există dar este infinită.

Definiţie. Funcţia \(f\) este derivabilă pe mulţimea \(I\subseteq A\) dacă este derivabilă în fiecare punct al mulţimii.
Mulţimea \(A_{f'}= \left \{ x\in A\mid \exists f'(x)\in \mathbb{R} \right \}\) se numeşte domeniul de derivabilitate al funcţiei \(f\).
 

Condiţia de continuitate într-un punct este condiţie necesară pentru derivabilitatea unei funcţii în acel punct:
Teoremă. Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.
Observaţii.

• Nu se pune problema derivabilităţii într-un punct în care funcţia nu este continuă.
• Reciproca teoremei de mai sus este falsă (există funcţii continue într-un punct care nu sunt derivabile în acel punct).

1. Derivata la stânga

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( -\infty ,x_{0} \right )\neq \varnothing .\) 
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
 \(\lim_{x\rightarrow x_{0},x< x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{s}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la stânga a funcţiei  \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la stânga în \(x_{0}\) dacă derivata la stânga în \(x_{0}\) există şi este finită.

2. Derivata la dreapta

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( x_{0},+\infty \right )\neq \varnothing .\) 
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
 \(\lim_{x\rightarrow x_{0},x> x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{d}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la dreapta a funcţiei  \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la dreapta în \(x_{0}\) dacă derivata la dreapta în \(x_{0}\) există şi este finită.

3. Existenţa derivatei într-un punct folosind derivatele laterale

Teoremă. 

• Funcţia \(f\) are derivată în \(x_{0}\) dacă şi numai dacă \(f\) are derivate laterale în \(x_{0}\) şi 
  \(f_{s}'(x_{0})= f_{d}'(x_{0})= f'(x_{0}).\)
• Funcţia \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\) dacă şi numai dacă \(f\) este derivabilă la stânga şi la dreapta în \(x_{0}\) şi \(f_{s}'(x_{0})= f_{d}'(x_{0})= f'(x_{0}).\)

Definiţie. Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A.\) Punctul \(M\left ( x_{0},f(x_{0}) \right )\) se numeşte punct de întoarcere pentru graficul funcţiei \(f\) dacă funcţia este continuă în \(x_{0}\) şi derivatele laterale ale funcţiei în \(x_{0}\) sunt infinite şi diferite.

Definiţie. Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A.\) Punctul \(M\left ( x_{0},f(x_{0}) \right )\) se numeşte punct unghiular pentru graficul funcţiei \(f\) dacă funcţia este continuă în \(x_{0}\) şi derivatele laterale ale funcţiei în punctul \(x_{0}\) sunt diferite şi cel puţin una este finită.

Definiţie. Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A.\) Punctul \(M\left ( x_{0},f(x_{0}) \right )\) se numeşte punct de inflexiune pentru graficul funcţiei \(f\) dacă funcţia este continuă în \(x_{0}\), are derivată în \(x_{0}\) (finită sau infinită), iar funcţia este convexă de o parte a lui \(x_{0}\) şi concavă de cealaltă parte.

 1. Funcţia constantă \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= c\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este egală cu zero: \(f'(x)= 0,\forall x\in \mathbb{R}.\) 

• Notaţie: \(c'= 0.\)

2. Funcţia putere cu exponent natural \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{n}, n\in \mathbb{N}^{*}\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= nx^{n-1},\forall x\in \mathbb{R}.\)

• Notaţie: \(\left ( x^{n} \right )'= nx^{n-1}.\)

3. Funcţia putere cu exponent real \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{r},r\in \mathbb{R}\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= rx^{r-1},\forall x\in \left ( 0,+\infty \right ).\)

• Notaţie: \(\left ( x^{r} \right )'= rx^{r-1}.\)

4. Funcţia rdical de ordin \(n\). Fie  \(f:D\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \sqrt[n]{x}, \forall x\in D, n\in \mathbb{N}, n\geq 2 ,\) 
unde \(D= \mathbb{R}\) dacă \(n\) este impar şi \(D= [0,+\infty )\) dacă \(n\) este par.
Funcţia radical este derivabilă în orice punct \(x\in D, x\neq 0\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, \forall x\in D, x\neq 0.\)

• Notaţie: \(\left ( \sqrt[n]{x} \right )'= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.\)

5. Funcţia logaritmică 
a) \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= lnx,\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{x}, \forall x> 0.\)

• Notaţie: \(\left ( lnx \right )'= \frac{1}{x}.\)

b) \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= log_{a}x,a> 0,a\neq 1\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{x\cdot lna}, \forall x> 0.\)

• Notaţie: \(\left ( log_{a}x \right )'= \frac{1}{x\cdot lna}.\)

6. Funcţia exponenţială \(f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,+\infty \right ), f(x)= a^{x}, a> 0,a\neq 1\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este \(f'(x)= a^{x}\cdot lna, x\in \mathbb{R}.\)

• Notaţie: \(\left ( a^{x} \right )'= a^{x}\cdot lna.\)
• Caz particular: \(\left ( e^{x} \right )'= e^{x}.\)

1. Funcţia \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \sin x, \forall x\in \mathbb{R}\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este \(f'(x)= \left ( \sin \right )'(x)= \cos x, \forall x\in \mathbb{R}.\)
2. Funcţia \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\cos x, \forall x\in \mathbb{R}\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este \(f'(x)= (\cos )'(x)=-\sin x, \forall x\in \mathbb{R}.\)

Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii şi \(x_{0}\) un punct de acumulare al lui A.

1. Dacă \(f,g\) sunt derivabile în \(x_{0}\), atunci funcţia \(f+g\) este derivabilă în \(x_{0}\) şi are loc relaţia 
\(\left (f+g \right )'(x_{0})= f'(x_{0})+g'(x_{0}).\)

2. Dacă \(f,g\) sunt derivabile în \(x_{0}\), atunci funcţia \(f\cdot g\) este derivabilă în \(x_{0}\) şi are loc relaţia
\(\left (f\cdot g \right )'(x_{0})= f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0}).\)

• Caz particular: dacă \(f\) este funcţia constantă \(f= c\in \mathbb{R}\), atunci contanta trece în faţa derivatei: \(\left ( c\cdot g \right )'= c\cdot g'.\)

3.  Dacă \(f,g\) sunt derivabile în \(x_{0}\) şi \(g(x_{0})\neq 0,\) atunci funcţia \(\frac{f}{g}\) este derivabilă în \(x_{0}\) şi are loc relaţia
\(\left (\frac{f}{g} \right )'(x_{0})= \frac{f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}.\)
 

Fie \(I,J\) două intervale şi \(f:I\rightarrow J, g:J\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii, iar \(x_{0}\in I.\)
Dacă \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\), iar \(g\) este derivabilă în \(f(x_{0})\), atunci funcţia compusă
 \(g\circ f:I\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă în \(x_{0}\) şi are loc relaţia 
\(\left ( g\circ f \right )'(x_{0})= g'\left ( f(x_{0}) \right )\cdot f'(x_{0}).\)

Fie \(I,J\) două intervale şi \(f:I\rightarrow J\) o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\in I\) şi \(f'(x_{0})\neq 0\), atunci funcţia inversă \(f^{-1}:J\rightarrow I\) este derivabilă în punctul \(y_{0}= f(x_{0})\) şi are loc relaţia
\(\left (f^{-1} \right )'(y_{0})= \frac{1}{f'(x_{0})}.\)

1. Funcţia arcsinus \(f(x)= arcsinx\) este derivabilă pe \(\left ( -1,1 \right )\) şi
 \(\left ( arcsinx \right )'= \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\forall x\in \left ( -1,1 \right ).\)
2. Funcţia arccosinus \(f(x)= arccosx\) este derivabilă pe \(\left ( -1,1 \right )\) şi
 \(\left ( arccosx \right )'=- \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\forall x\in \left ( -1,1 \right ).\)
3. Funcţia arctangentă \(f(x)= arctgx\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi 
\(\left ( arctgx \right )'= \frac{1}{1+x^{2}},\forall x\in \mathbb{R}.\)
4. Funcţia arccotangentă \(f(x)= arcctgx\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi 
\(\left ( arcctgx \right )'= -\frac{1}{1+x^{2}},\forall x\in \mathbb{R}.\)

Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A.\)
Definiţii:

• Funcţia \(f\) este derivabilă de ordinul I, dacă \(f\) este derivabilă. În acest caz, \(f'\)se numeşte derivata de ordinul I a funcţiei \(f\).
• Funcţia \(f\) este de două ori derivabilă în \(x_{0}\) dacă \(f\) este derivabilă pe o vecinătate a punctului \(x_{0}\), iar funcţia derivată \(f'\) este derivabilă în \(x_{0}\). În acest caz, derivata funcţiei \(f'\) în \(x_{0}\) se numeşte derivata de ordinul II a lui \(f\) sau derivata a doua şi se notează \(f''\left (x_{0} \right )\).

\(f''(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}.\)

Fie funcţia \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, A\subseteq \mathbb{R}\).
Definiţii:

• Un punct \(x_{0}\in A\) se numeşte punct de maxim local (relativ) al funcţiei \(f\) dacă există o vecinătate V a punctului \(x_{0}\) astfel încât \(f(x)\leq f(x_{0}),\forall x\in V\cap A.\) Valoarea \(f(x_{0})\) se numeşte maximul local (relativ) al funcţiei, iar punctul \(M(x_{0},f(x_{0}))\) de pe graficul funcţiei se numeşte punct de maxim local (relativ) al graficului.
• Un punct \(x_{0}\in A\) se numeşte punct de minim local (relativ) al funcţiei \(f\) dacă există o vecinătate V a punctului \(x_{0}\) astfel încât \(f(x)\geq f(x_{0}),\forall x\in V\cap A.\) Valoarea \(f(x_{0})\) se numeşte minimul local (relativ) al funcţiei, iar punctul \(M(x_{0},f(x_{0}))\) de pe graficul funcţiei se numeşte punct de minim local (relativ) al graficului.
• Punctele \(x_{0}\in A\) de maxim local sau de minim local se numesc puncte de extrem local ale funcţiei. Valorile funcţiei în punctele de extrem local se numesc extremele locale ale funcţiei. Punctele de maxim local şi de minim local ale graficului se numesc puncte de extrem local ale graficului.

• Un punct \(x_{0}\in A\) se numeşte punct de maxim absolut al funcţiei \(f\) dacă \(f(x)\leq f(x_{0}),\forall x\in A.\) Valoarea \(f(x_{0})\) se numeşte maximul absolut al funcţiei. 
• Un punct \(x_{0}\in A\) se numeşte punct de minim absolut al funcţiei \(f\) dacă \(f(x)\geq f(x_{0}),\forall x\in A.\) Valoarea \(f(x_{0})\) se numeşte minimul absolut al funcţiei. 
• Punctele \(x_{0}\in A\) de maxim absolut sau de minim absolut se numesc puncte de extrem absolut ale funcţiei.

Teorema lui Fermat. Fie \(a,b\in \mathbb{R}, a< b\) ,  \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in \left ( a,b \right )\) un punct de extrem al funcţiei.
Dacă \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\), atunci \(f'(x_{0})= 0.\)

Teorema lui Rolle. Fie \(a,b\in \mathbb{R}, a< b,f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}.\) Dacă:

• \(f\) este continuă pe \(\left [ a,b \right ]\)
• \(f\) este derivabilă pe \(\left ( a,b \right )\)
• \(f(a)= f(b)\)

atunci există un punct \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f'(c)= 0.\)

Consecinţă. Între două rădăcini ale funcţiei \(f\) se află cel puţin o rădăcină a derivatei \(f'\).

Teorema lui Lagrange. Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b,f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}.\) Dacă:

• \(f\) este continuă pe \(\left [ a,b \right ]\)
• \(f\) este derivabilă pe \(\left ( a,b \right )\)

atunci există cel puţin un punct \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f(b)-f(a)= f'(c)(b-a).\)

Consecinţa 1. Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b,f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie derivabilă pe \(\left [ a,b \right ].\) 
Funcţia \(f\) este constantă dacă şi numai dacă \(f\) are derivata nulă \(\left (f'= 0 \right )\).

Consecinţa 2. Fie \(I\) un interval şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii derivabile pe \(I\) astfel încât \(f'(x)= g'(x),\forall x\in I.\)
Atunci funcţiile \(f,g\) diferă printr-o constantă \((f-g= c,c\in \mathbb{R}).\)

Consecinţa 3. Fie \(I\) un interval,  \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in I.\) Dacă:

• \(f\) este continuă în \(x_{0}\)
• \(f\) este derivabilă pe \(I\setminus x_{0}\)
• există \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)= l\in \overline{\mathbb{R}}\),

atunci funcţia \(f\) are derivată în \(x_{0}\) şi \(f'(x_{0})= l.\)

1. Regula lui l'Hospital pentru cazul de nedeterminare \(\frac{0}{0}\):

Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:

• funcţiile \(f,g\) sunt derivabile pe \(I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
• \(g'(x)\neq 0,\forall x\in I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= 0\)
• există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \overline{\mathbb{R}}\)

atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\)

2. Regula lui l'Hospital pentru cazul de nedeterminare \(\frac{\infty }{\infty }\):

Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:

• funcţiile \(f,g\) sunt derivabile pe \(I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
• \(g'(x)\neq 0,\forall x\in I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left |f(x) \right |= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left |g(x) \right |= +\infty\)
• există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \overline{\mathbb{R}}\)

atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\)

Observaţie. Cazurile de nedeterminare \(\infty -\infty ,0\cdot \infty ,0^{0},\infty ^{0},1^{\infty }\) pot fi aduse la unul din cazurile \(\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }.\)
 

1. Determinarea intervalelor de monotonie

Fie \(I\) un interval şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie derivabilă. 

• Dacă \(f'(x)\geq 0,\forall x\in I\), atunci \(f\) este crescătoare pe \(I\)
• Dacă \(f'(x)\leq 0,\forall x\in I\), atunci \(f\) este descrescătoare pe \(I\).

2. Determinarea punctelor de extrem

Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A\) punct de acumulare.

• Dacă la stânga lui \(x_{0}\) derivata \(f'\) este negativă, iar la dreapta lui \(x_{0}\) derivata \(f'\) este pozitivă, atunci \(x_{0}\) este punct de minim al funcţiei \(f\)
• Dacă la stânga lui \(x_{0}\) derivata \(f'\) este pozitivă, iar la dreapta lui \(x_{0}\) derivata \(f'\) este negativă, atunci \(x_{0}\) este punct de maxim al funcţiei \(f\).

1. Determinarea intervalelor de convexitate (concavitate)

Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b, f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă.

• Dacă \(f''(x)\geq 0,\forall x\in \left ( a,b \right )\) atunci funcţia \(f\) este convexă pe \(\left [ a,b \right ]\)
• Dacă \(f''(x)\leq 0,\forall x\in \left ( a,b \right )\) atunci funcţia \(f\) este concavă pe \(\left [ a,b \right ]\).

2. Determinarea punctelor de inflexiune

Fie \(I\) un interval, \(x_{0}\) un punct din interiorul intervalului \(I\) şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui \(x_{0}\). Dacă:

• există două puncte \(a,b\in V\) astfel încât \(x_{0}\in \left ( a,b \right )\)
• \(f''(x_{0})= 0\)
• \(f''(x)< 0, \forall x\in \left ( a,x_{0} \right )\) şi \(f''(x)> 0, \forall x\in \left (x_{0},b \right )\) sau 

\(f''(x)> 0, \forall x\in \left ( a,x_{0} \right )\) şi \(f''(x)< 0, \forall x\in \left (x_{0},b \right )\)
atunci \(x_{0}\) este punct de inflexiune al funcţiei \(f\).