Derivate laterale
1. Derivata la stânga
Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( -\infty ,x_{0} \right )\neq \varnothing .\)
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0},x< x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{s}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la stânga a funcţiei \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la stânga în \(x_{0}\) dacă derivata la stânga în \(x_{0}\) există şi este finită.
2. Derivata la dreapta
Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( x_{0},+\infty \right )\neq \varnothing .\)
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0},x> x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{d}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la dreapta a funcţiei \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la dreapta în \(x_{0}\) dacă derivata la dreapta în \(x_{0}\) există şi este finită.
3. Existenţa derivatei într-un punct folosind derivatele laterale
Teoremă.
Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( -\infty ,x_{0} \right )\neq \varnothing .\)
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0},x< x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{s}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la stânga a funcţiei \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la stânga în \(x_{0}\) dacă derivata la stânga în \(x_{0}\) există şi este finită.
2. Derivata la dreapta
Fie \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in A, A\cap \left ( x_{0},+\infty \right )\neq \varnothing .\)
Definiţie. Funcţia \(f\) are derivată la stânga în \(x_{0}\) dacă limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0},x> x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se notează \(f_{d}'(x_{0})\) şi se numeşte derivata la dreapta a funcţiei \(f\) în punctul \(x_{0}\).
Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă la dreapta în \(x_{0}\) dacă derivata la dreapta în \(x_{0}\) există şi este finită.
3. Existenţa derivatei într-un punct folosind derivatele laterale
Teoremă.
- Funcţia \(f\) are derivată în \(x_{0}\) dacă şi numai dacă \(f\) are derivate laterale în \(x_{0}\) şi
\(f_{s}'(x_{0})= f_{d}'(x_{0})= f'(x_{0}).\) - Funcţia \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\) dacă şi numai dacă \(f\) este derivabilă la stânga şi la dreapta în \(x_{0}\) şi \(f_{s}'(x_{0})= f_{d}'(x_{0})= f'(x_{0}).\)