Consecinţe ale teoremei lui Lagrange
Consecinţa 1. Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b,f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie derivabilă pe \(\left [ a,b \right ].\)
Funcţia \(f\) este constantă dacă şi numai dacă \(f\) are derivata nulă \(\left (f'= 0 \right )\).
Consecinţa 2. Fie \(I\) un interval şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii derivabile pe \(I\) astfel încât \(f'(x)= g'(x),\forall x\in I.\)
Atunci funcţiile \(f,g\) diferă printr-o constantă \((f-g= c,c\in \mathbb{R}).\)
Consecinţa 3. Fie \(I\) un interval, \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in I.\) Dacă:
Funcţia \(f\) este constantă dacă şi numai dacă \(f\) are derivata nulă \(\left (f'= 0 \right )\).
Consecinţa 2. Fie \(I\) un interval şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii derivabile pe \(I\) astfel încât \(f'(x)= g'(x),\forall x\in I.\)
Atunci funcţiile \(f,g\) diferă printr-o constantă \((f-g= c,c\in \mathbb{R}).\)
Consecinţa 3. Fie \(I\) un interval, \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in I.\) Dacă:
- \(f\) este continuă în \(x_{0}\)
- \(f\) este derivabilă pe \(I\setminus x_{0}\)
- există \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)= l\in \overline{\mathbb{R}}\),