Rezolvarea unor cazuri de nedeterminare
1. Regula lui l'Hospital pentru cazul de nedeterminare \(\frac{0}{0}\):
Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:
2. Regula lui l'Hospital pentru cazul de nedeterminare \(\frac{\infty }{\infty }\):
Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:
Observaţie. Cazurile de nedeterminare \(\infty -\infty ,0\cdot \infty ,0^{0},\infty ^{0},1^{\infty }\) pot fi aduse la unul din cazurile \(\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }.\)
Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:
- funcţiile \(f,g\) sunt derivabile pe \(I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
- \(g'(x)\neq 0,\forall x\in I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
- \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)= 0\)
- există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \overline{\mathbb{R}}\)
2. Regula lui l'Hospital pentru cazul de nedeterminare \(\frac{\infty }{\infty }\):
Fie \(I\) un interval din \(\mathbb{R}\), \(x_{0}\) un punct de acumulare al acestuia şi \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\). Dacă:
- funcţiile \(f,g\) sunt derivabile pe \(I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
- \(g'(x)\neq 0,\forall x\in I\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)
- \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left |f(x) \right |= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left |g(x) \right |= +\infty\)
- există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \overline{\mathbb{R}}\)
Observaţie. Cazurile de nedeterminare \(\infty -\infty ,0\cdot \infty ,0^{0},\infty ^{0},1^{\infty }\) pot fi aduse la unul din cazurile \(\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }.\)