Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct
Fie \(A\subseteq \mathbb{R}, f:A\rightarrow \mathbb{R}, x_{0}\in A,\) \(x_{0}\) punct de acumulare al mulțimii A.
Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) are derivată în punctul \(x_{0}\) dacă există limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se numeşte derivata funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) şi se notează
\(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.\)
Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\) dacă limita
\(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există şi este finită.
Observaţie. Funcţia \(f\) nu este derivabilă în punctul \(x_{0}\) dacă limita \(f'(x_{0})\) nu există, sau există dar este infinită.
Definiţie. Funcţia \(f\) este derivabilă pe mulţimea \(I\subseteq A\) dacă este derivabilă în fiecare punct al mulţimii.
Mulţimea \(A_{f'}= \left \{ x\in A\mid \exists f'(x)\in \mathbb{R} \right \}\) se numeşte domeniul de derivabilitate al funcţiei \(f\).
Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) are derivată în punctul \(x_{0}\) dacă există limita
\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) în \(\overline{\mathbb{R}}.\)
Această limită se numeşte derivata funcţiei \(f\) în \(x_{0}\) şi se notează
\(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.\)
Definiţie. Spunem că funcţia \(f\) este derivabilă în \(x_{0}\) dacă limita
\(f'(x_{0})= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) există şi este finită.
Observaţie. Funcţia \(f\) nu este derivabilă în punctul \(x_{0}\) dacă limita \(f'(x_{0})\) nu există, sau există dar este infinită.
Definiţie. Funcţia \(f\) este derivabilă pe mulţimea \(I\subseteq A\) dacă este derivabilă în fiecare punct al mulţimii.
Mulţimea \(A_{f'}= \left \{ x\in A\mid \exists f'(x)\in \mathbb{R} \right \}\) se numeşte domeniul de derivabilitate al funcţiei \(f\).