Determinarea intervalelor de convexitate (concavitate) şi a punctelor de inflexiune
1. Determinarea intervalelor de convexitate (concavitate)
Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b, f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă.
Fie \(I\) un interval, \(x_{0}\) un punct din interiorul intervalului \(I\) şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui \(x_{0}\). Dacă:
atunci \(x_{0}\) este punct de inflexiune al funcţiei \(f\).
Fie \(a,b\in \mathbb{R},a< b, f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă.
- Dacă \(f''(x)\geq 0,\forall x\in \left ( a,b \right )\) atunci funcţia \(f\) este convexă pe \(\left [ a,b \right ]\)
- Dacă \(f''(x)\leq 0,\forall x\in \left ( a,b \right )\) atunci funcţia \(f\) este concavă pe \(\left [ a,b \right ]\).
Fie \(I\) un interval, \(x_{0}\) un punct din interiorul intervalului \(I\) şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui \(x_{0}\). Dacă:
- există două puncte \(a,b\in V\) astfel încât \(x_{0}\in \left ( a,b \right )\)
- \(f''(x_{0})= 0\)
- \(f''(x)< 0, \forall x\in \left ( a,x_{0} \right )\) şi \(f''(x)> 0, \forall x\in \left (x_{0},b \right )\) sau
atunci \(x_{0}\) este punct de inflexiune al funcţiei \(f\).