Derivatele funcţiilor elementare
1. Funcţia constantă \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= c\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este egală cu zero: \(f'(x)= 0,\forall x\in \mathbb{R}.\)
2. Funcţia putere cu exponent natural \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{n}, n\in \mathbb{N}^{*}\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= nx^{n-1},\forall x\in \mathbb{R}.\)
3. Funcţia putere cu exponent real \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{r},r\in \mathbb{R}\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= rx^{r-1},\forall x\in \left ( 0,+\infty \right ).\)
4. Funcţia rdical de ordin \(n\). Fie \(f:D\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \sqrt[n]{x}, \forall x\in D, n\in \mathbb{N}, n\geq 2 ,\)
unde \(D= \mathbb{R}\) dacă \(n\) este impar şi \(D= [0,+\infty )\) dacă \(n\) este par.
Funcţia radical este derivabilă în orice punct \(x\in D, x\neq 0\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, \forall x\in D, x\neq 0.\)
5. Funcţia logaritmică
a) \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= lnx,\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{x}, \forall x> 0.\)
6. Funcţia exponenţială \(f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,+\infty \right ), f(x)= a^{x}, a> 0,a\neq 1\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este \(f'(x)= a^{x}\cdot lna, x\in \mathbb{R}.\)
- Notaţie: \(c'= 0.\)
2. Funcţia putere cu exponent natural \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{n}, n\in \mathbb{N}^{*}\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= nx^{n-1},\forall x\in \mathbb{R}.\)
- Notaţie: \(\left ( x^{n} \right )'= nx^{n-1}.\)
3. Funcţia putere cu exponent real \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= x^{r},r\in \mathbb{R}\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este egală cu \(f'(x)= rx^{r-1},\forall x\in \left ( 0,+\infty \right ).\)
- Notaţie: \(\left ( x^{r} \right )'= rx^{r-1}.\)
4. Funcţia rdical de ordin \(n\). Fie \(f:D\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \sqrt[n]{x}, \forall x\in D, n\in \mathbb{N}, n\geq 2 ,\)
unde \(D= \mathbb{R}\) dacă \(n\) este impar şi \(D= [0,+\infty )\) dacă \(n\) este par.
Funcţia radical este derivabilă în orice punct \(x\in D, x\neq 0\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, \forall x\in D, x\neq 0.\)
- Notaţie: \(\left ( \sqrt[n]{x} \right )'= \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.\)
5. Funcţia logaritmică
a) \(f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}, f(x)= lnx,\) este derivabilă pe \(\left ( 0,+\infty \right )\) şi derivata sa este \(f'(x)= \frac{1}{x}, \forall x> 0.\)
- Notaţie: \(\left ( lnx \right )'= \frac{1}{x}.\)
- Notaţie: \(\left ( log_{a}x \right )'= \frac{1}{x\cdot lna}.\)
6. Funcţia exponenţială \(f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,+\infty \right ), f(x)= a^{x}, a> 0,a\neq 1\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\) şi derivata sa este \(f'(x)= a^{x}\cdot lna, x\in \mathbb{R}.\)
- Notaţie: \(\left ( a^{x} \right )'= a^{x}\cdot lna.\)
- Caz particular: \(\left ( e^{x} \right )'= e^{x}.\)