Teorema lui Weierstrass

știm că orice șir convergent de

numere reale este mărginit Dar

nu orice șir mărginit de numere

reale este convergent proprietatea

de mărginirea unui șir trebuie

completată cu alte proprietăți

ale șirului pentru a asigura convergența

acestuia un rezultat importante

în această privință îl constituie

teorema lui weierstrass în acest

videoclip voi prezenta și demonstra

Acest rezultat să vedem în doi

Cine a fost weierstrass Karl Teodor

vii helm weierstrass născut în

31 octombrie 1815 și decedată 19

februarie 1897 a fost un matematician

german considerat părintele analizei

matematice teorema sau proprietatea

lui vires Trans ne spune că dacă

un șir este monotona crescător

și mărginit superior atunci șirul

este convergent dacă un șir este

monotona descrescător și mărginit

inferior atunci șirul este convergent

de fapt această teoremă ne spune

că orice șir monoton și mărginit

este convergent Deci proprietatea

de mărginire a unui șir trebuia

completată cu proprietatea de monotonie

pentru a asigura convergența acestuia

să ne reamintim Ce înseamnă că

șirul x n y este un șir monoton

crescător x n un șir de numere

reale este monoton crescător Dacă

și numai dacă x 1 este mai mic

sau egal cu x 2 care este la rândul

său mai mic sau egal cu x 3 care

este la rândul său mai mic sau

egal cu x 4 și așa mai departe

vom avea că x este mai mic sau

egal cu x n plus 1 și și rost de

inegalități continua cu alte cuvinte

xn trebuie să fie mai mic sau egal

decât x n plus 1 pentru orice n

din end pe la similar putem defini

șirul monoton descrescător dacă

x n este un șir de numere reale

El este un șir monoton descrescător

Dacă și numai dacă X1 este mai

mare sau egal decât x 2 care la

rândul său este mai mare sau egal

decât x 3 și șirul de inegalități

continua x n este mai mare sau

egal decât x n plus 1 și așa mai

departe adică x n este mai mare

sau egal decât x n plus 1 pentru

orice n din n stelat spunem că

un șir este monotona Dacă este

monotona crescator sau monoton

descrescător să ne reamintim acum

Ce înseamnă că un șir este mărginit

superior respectiv mărginit inferior

un șir de numere reale x n este

mărginit superior dacă tot termenii

șirului sunt mai mici sau egali

cu un număr real matematică descrie

acest lucru astăzi există n număr

real a astfel încât x n să fie

mai mic sau egal cu m pentru orice

n din n stelat Analog avem că un

șir de numere reale x n este mărginit

inferior dacă tot termenii șirului

sunt mai mari sau egale cu un număr

real finit Adică dacă există m

număr real cu proprietatea că x

este mai mare sau egal cu m pentru

orice n din astea punem ca un șir

este mărginit dacă este mărginit

superior și mărginit inferior Adică

dacă toți termenii șirului pot

fi Încadrați între două numere

reale de exemplu acest șir este

monotona descrescător vedem că

fiecare termen al șirului este

mai mare decât termenul următor

și este un șir mărginit inferior

toți termenii șirului sunt mai

mari decât 0 și evident este mărginit

superior de primul termen al șirului

Care este 1 în acest exemplu Avem

un șir crescător fiecare termen

al șirului este mai mic decât termenul

următor și de asemenea este un

șir mărginit superior vedem că

toți termenii șirului sunt mai

mici decât 4 și evident este mărginit

și inferior pentru că cel mai mic

termen al șirului este chiar primul

termen adică 1 acum după ce am reamintit

noțiunile matematice din teorema

lui weierstrass pe care le ați

studiat cu ceva timp în urmă adică

monotonia unui șir și marginirea

unui șir voi demonstra subpunctul

al acestei teoreme voi presupune

că avem șirul de numere reale x

n un șir crescător și mărginit

superior vreau să demonstrez că

acest șir is taifun versant adică

vreau să arate că pentru orice

epsilon pozitiv există un rang

and epsilon din astea astfel încât

modul din x n minus el să fie mai

mic decât epsilon pentru orice

n mai mare sau egal cu m d f co

faptul că modul din x minus la

mai mic decât exilor echivalent

cu el minus epsilon a mai mic decât

x și mai mic decât n plus Sepsi

la problema este că de fapt eu

nu îl știu pe el și de fapt definiția

asta convergența unui șir este

in completă criteriul de convergență

cu epsilon ne spune că el aparținând

lui R este limita șirului x n Dacă

și numai dacă pentru orice ypsilon

pozitiv există un rang n d epsilon

bine stelat astfel încât modul

din x minus el să fie mai mic decât

epsilon pentru orice n mai mare

sau egal cu n de epsilon Deci care

ar trebui să fie etapă demonstrației

în primul rând ar trebui să îl

determine pe el apoi trebuie să

arăt că pentru orice epsilon pozitiv

există and epsilon dinaintea cu

proprietatea că modul din x minus

la mai mic decât exilor pentru

orice n mai mare sau egal cu MD

epsilon deci ar trebui să aleg

un ypsilon arbitrar pozitiv apoi

trebuie să îl determine pe MD epsilon

acel rang începând de la care toți

termenii șirului se găsesc între

ele nu Sepsi lor și el plus epsilon

și apoi trebuie să demonstrez că

are loc această inegalitate sau

aceste două inegalități pentru

orice n mai mare sau egal cu MD

epsilon Deci voi alege un n număr

natural oarecare și în final trebuie

să arăt că pentru n mai mare sau

egal cu MD epsilon modul din x

minus El este mai mic decât ypsilon

adică voi presupune că n este mai

mare sau egal cu N D epsilon și

voi demonstra că el minus epsilon

mai mic decât x n mai mic decât

al plus sex Bun deci să vedem cine

ar putea fi el Noi avem un șir

xn monoton crescător și mărginit

superior am reprezentat termenii

șirului pe asa intuitiv ne dăm

seama că termenii șirului se aglomerează

ca să zic așa în această zonă în

jurul unui punct care ar putea

să fie limita șirului Dar cum aș

putea determina acel punct Am putea

spune că acestea el ar putea fi

cel mai mare termen al șirului

dar cam șirul are o infinitate

de termen nu vom avea un cel mai

mare termen al șirului ce aș putea

face ar fi să spun că acest El

este Supremă mult sau marginea

superioară a mulțimii termenilor

șirului și pot face acest lucru

pentru că dacă notez mulțimea termenilor

șirului cu A mare adică a mare

este egal cu X1 X2 X3 și așa mai

departe și știm că și role Xenia

stea un șir mărginit superior înseamnă

că a mulțimea A mare va fi mărginită

superior ceea ce înseamnă că mulțimea

A mare are o marginea superioară

pe care noi am notat o cu sup a

vă reamintesc că marginea superioară

a lui aer fac cel mai mic majorant

al mulțimii A acesta pe care vroiam

să îl determini va fi tocmai marginea

superioară a lui a adică el egal

cu sub ei și tot ceea ce îmi rămâne

de făcut este să arăt ca peste

el este limita șirului x n pentru

aceasta voi considera un epsilon

pozitiv arbitrar ales adică fie

epsilon mai mare decât 0 voi lua

intervalul centrat în l l minus

epsilon L plus epsilon și trebuia

să arate că ei toți termenii șirului

cu excepția unui număr finit de

termeni se găsesc în intervalul

l minus epsilon L plus epsilon

minus este mai mic decât el pentru

că este un număr pozitiv și el

minut sexy loan nu poate fi un

majorant al mulțimii A Pentru că

el este cel mai mic majorant al

mulțimii a înseamnă că există cel

puțin un termen al șirului care

se găsește între l minus epsilon

și el Voi nota cu MD ypsilon rangul

acestui termen al șirului și am

să schimb marcheze acest termen

aici pe desen la marcat cu mov

acest termen al șirului este termenul

x indice n Decathlon înseamnă că

există MDF salone un număr natural

nenul astfel încât el minus Sepsi

lor este mai mic decât x indice

ndef salon este mai mic decât el

dar odată ce am găsit un termen

între el minus epsilon și el pentru

că șirul este monotonă crescător

toți termenii cu rang mai mare

decât a d epsilon trebuie să fie

mai mari decât x indice n d epsilon

acești termeni se blochează între

x indice de epsilon și el Deci

pentru n un număr natural fixat

mai mare sau egal cu N D epsilon

avem l minus epsilon mai mic decât

x indice n d e f salon pentru că

așa Am ales and epsilon să fie

rangul acelui termen al șirului

care se găsește Cu siguranță între

el minus epsilon și el pentru că

x n este un șir crescător și noi

avem că n este mai mare sau egal

cu MD epsilon înseamnă că x indice

ndef salone este mai mic sau egal

cu x indice n și pentru că el este

marginea superioară a lui a avem

că x indice n este mai mic sau

egal decât el pentru că epsilon

este pozitiv avem că el flu Sepsi

luni este mai mare decât el Deci

avem el mai mic decât el La Sepsi

loan Adică am aratat ca El Nino

sexy luni este mai mic decât x

indice n care este mai mic decât

n plus epsilon pentru orice n mai

mare sau egal decât n d e f și

lor adică exact ceea ce ar fi trebuit

să arătăm pentru ca el să fie limita

șirului x și cu aceasta demonstrația

este încheiată demonstrația sub

punctului b din teoremă este analoagă

cu demonstrația punctului a Evident

în cazul în care șirul este monotonă

descrescător și mărginit inferior

el va fi marginea inferioară a

mulțimii A mulțimea termenilor

șirului și vă reamintesc că marginea

inferioară este cel mai mare minorant

al mulțimii a