Transcript: Teorema lui Weierstrass

știm că orice șir convergent de
numere reale este mărginit Dar
nu orice șir mărginit de numere
reale este convergent proprietatea
de mărginirea unui șir trebuie
completată cu alte proprietăți
ale șirului pentru a asigura convergența
acestuia un rezultat importante
în această privință îl constituie
teorema lui weierstrass în acest
videoclip voi prezenta și demonstra
Acest rezultat să vedem în doi
Cine a fost weierstrass Karl Teodor
vii helm weierstrass născut în
31 octombrie 1815 și decedată 19
februarie 1897 a fost un matematician
german considerat părintele analizei
matematice teorema sau proprietatea
lui vires Trans ne spune că dacă
un șir este monotona crescător
și mărginit superior atunci șirul
este convergent dacă un șir este
monotona descrescător și mărginit
inferior atunci șirul este convergent
de fapt această teoremă ne spune
că orice șir monoton și mărginit
este convergent Deci proprietatea
de mărginire a unui șir trebuia
completată cu proprietatea de monotonie
pentru a asigura convergența acestuia
să ne reamintim Ce înseamnă că
șirul x n y este un șir monoton
crescător x n un șir de numere
reale este monoton crescător Dacă
și numai dacă x 1 este mai mic
sau egal cu x 2 care este la rândul
său mai mic sau egal cu x 3 care
este la rândul său mai mic sau
egal cu x 4 și așa mai departe
vom avea că x este mai mic sau
egal cu x n plus 1 și și rost de
inegalități continua cu alte cuvinte
xn trebuie să fie mai mic sau egal
decât x n plus 1 pentru orice n
din end pe la similar putem defini
șirul monoton descrescător dacă
x n este un șir de numere reale
El este un șir monoton descrescător
Dacă și numai dacă X1 este mai
mare sau egal decât x 2 care la
rândul său este mai mare sau egal
decât x 3 și șirul de inegalități
continua x n este mai mare sau
egal decât x n plus 1 și așa mai
departe adică x n este mai mare
sau egal decât x n plus 1 pentru
orice n din n stelat spunem că
un șir este monotona Dacă este
monotona crescator sau monoton
descrescător să ne reamintim acum
Ce înseamnă că un șir este mărginit
superior respectiv mărginit inferior
un șir de numere reale x n este
mărginit superior dacă tot termenii
șirului sunt mai mici sau egali
cu un număr real matematică descrie
acest lucru astăzi există n număr
real a astfel încât x n să fie
mai mic sau egal cu m pentru orice
n din n stelat Analog avem că un
șir de numere reale x n este mărginit
inferior dacă tot termenii șirului
sunt mai mari sau egale cu un număr
real finit Adică dacă există m
număr real cu proprietatea că x
este mai mare sau egal cu m pentru
orice n din astea punem ca un șir
este mărginit dacă este mărginit
superior și mărginit inferior Adică
dacă toți termenii șirului pot
fi Încadrați între două numere
reale de exemplu acest șir este
monotona descrescător vedem că
fiecare termen al șirului este
mai mare decât termenul următor
și este un șir mărginit inferior
toți termenii șirului sunt mai
mari decât 0 și evident este mărginit
superior de primul termen al șirului
Care este 1 în acest exemplu Avem
un șir crescător fiecare termen
al șirului este mai mic decât termenul
următor și de asemenea este un
șir mărginit superior vedem că
toți termenii șirului sunt mai
mici decât 4 și evident este mărginit
și inferior pentru că cel mai mic
termen al șirului este chiar primul
termen adică 1 acum după ce am reamintit
noțiunile matematice din teorema
lui weierstrass pe care le ați
studiat cu ceva timp în urmă adică
monotonia unui șir și marginirea
unui șir voi demonstra subpunctul
al acestei teoreme voi presupune
că avem șirul de numere reale x
n un șir crescător și mărginit
superior vreau să demonstrez că
acest șir is taifun versant adică
vreau să arate că pentru orice
epsilon pozitiv există un rang
and epsilon din astea astfel încât
modul din x n minus el să fie mai
mic decât epsilon pentru orice
n mai mare sau egal cu m d f co
faptul că modul din x minus la
mai mic decât exilor echivalent
cu el minus epsilon a mai mic decât
x și mai mic decât n plus Sepsi
la problema este că de fapt eu
nu îl știu pe el și de fapt definiția
asta convergența unui șir este
in completă criteriul de convergență
cu epsilon ne spune că el aparținând
lui R este limita șirului x n Dacă
și numai dacă pentru orice ypsilon
pozitiv există un rang n d epsilon
bine stelat astfel încât modul
din x minus el să fie mai mic decât
epsilon pentru orice n mai mare
sau egal cu n de epsilon Deci care
ar trebui să fie etapă demonstrației
în primul rând ar trebui să îl
determine pe el apoi trebuie să
arăt că pentru orice epsilon pozitiv
există and epsilon dinaintea cu
proprietatea că modul din x minus
la mai mic decât exilor pentru
orice n mai mare sau egal cu MD
epsilon deci ar trebui să aleg
un ypsilon arbitrar pozitiv apoi
trebuie să îl determine pe MD epsilon
acel rang începând de la care toți
termenii șirului se găsesc între
ele nu Sepsi lor și el plus epsilon
și apoi trebuie să demonstrez că
are loc această inegalitate sau
aceste două inegalități pentru
orice n mai mare sau egal cu MD
epsilon Deci voi alege un n număr
natural oarecare și în final trebuie
să arăt că pentru n mai mare sau
egal cu MD epsilon modul din x
minus El este mai mic decât ypsilon
adică voi presupune că n este mai
mare sau egal cu N D epsilon și
voi demonstra că el minus epsilon
mai mic decât x n mai mic decât
al plus sex Bun deci să vedem cine
ar putea fi el Noi avem un șir
xn monoton crescător și mărginit
superior am reprezentat termenii
șirului pe asa intuitiv ne dăm
seama că termenii șirului se aglomerează
ca să zic așa în această zonă în
jurul unui punct care ar putea
să fie limita șirului Dar cum aș
putea determina acel punct Am putea
spune că acestea el ar putea fi
cel mai mare termen al șirului
dar cam șirul are o infinitate
de termen nu vom avea un cel mai
mare termen al șirului ce aș putea
face ar fi să spun că acest El
este Supremă mult sau marginea
superioară a mulțimii termenilor
șirului și pot face acest lucru
pentru că dacă notez mulțimea termenilor
șirului cu A mare adică a mare
este egal cu X1 X2 X3 și așa mai
departe și știm că și role Xenia
stea un șir mărginit superior înseamnă
că a mulțimea A mare va fi mărginită
superior ceea ce înseamnă că mulțimea
A mare are o marginea superioară
pe care noi am notat o cu sup a
vă reamintesc că marginea superioară
a lui aer fac cel mai mic majorant
al mulțimii A acesta pe care vroiam
să îl determini va fi tocmai marginea
superioară a lui a adică el egal
cu sub ei și tot ceea ce îmi rămâne
de făcut este să arăt ca peste
el este limita șirului x n pentru
aceasta voi considera un epsilon
pozitiv arbitrar ales adică fie
epsilon mai mare decât 0 voi lua
intervalul centrat în l l minus
epsilon L plus epsilon și trebuia
să arate că ei toți termenii șirului
cu excepția unui număr finit de
termeni se găsesc în intervalul
l minus epsilon L plus epsilon
minus este mai mic decât el pentru
că este un număr pozitiv și el
minut sexy loan nu poate fi un
majorant al mulțimii A Pentru că
el este cel mai mic majorant al
mulțimii a înseamnă că există cel
puțin un termen al șirului care
se găsește între l minus epsilon
și el Voi nota cu MD ypsilon rangul
acestui termen al șirului și am
să schimb marcheze acest termen
aici pe desen la marcat cu mov
acest termen al șirului este termenul
x indice n Decathlon înseamnă că
există MDF salone un număr natural
nenul astfel încât el minus Sepsi
lor este mai mic decât x indice
ndef salon este mai mic decât el
dar odată ce am găsit un termen
între el minus epsilon și el pentru
că șirul este monotonă crescător
toți termenii cu rang mai mare
decât a d epsilon trebuie să fie
mai mari decât x indice n d epsilon
acești termeni se blochează între
x indice de epsilon și el Deci
pentru n un număr natural fixat
mai mare sau egal cu N D epsilon
avem l minus epsilon mai mic decât
x indice n d e f salon pentru că
așa Am ales and epsilon să fie
rangul acelui termen al șirului
care se găsește Cu siguranță între
el minus epsilon și el pentru că
x n este un șir crescător și noi
avem că n este mai mare sau egal
cu MD epsilon înseamnă că x indice
ndef salone este mai mic sau egal
cu x indice n și pentru că el este
marginea superioară a lui a avem
că x indice n este mai mic sau
egal decât el pentru că epsilon
este pozitiv avem că el flu Sepsi
luni este mai mare decât el Deci
avem el mai mic decât el La Sepsi
loan Adică am aratat ca El Nino
sexy luni este mai mic decât x
indice n care este mai mic decât
n plus epsilon pentru orice n mai
mare sau egal decât n d e f și
lor adică exact ceea ce ar fi trebuit
să arătăm pentru ca el să fie limita
șirului x și cu aceasta demonstrația
este încheiată demonstrația sub
punctului b din teoremă este analoagă
cu demonstrația punctului a Evident
în cazul în care șirul este monotonă
descrescător și mărginit inferior
el va fi marginea inferioară a
mulțimii A mulțimea termenilor
șirului și vă reamintesc că marginea
inferioară este cel mai mare minorant
al mulțimii a