Criteriul cleştelui (pentru limite de funcţii)
Teoremă (trecerea la limită în inegalităţi). Fie \(f,g:A\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru mulţimea A şi V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(f(x)\leq g(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi dacă \(f\) şi \(g\) au limite în punctul \(x_{0}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x).\)
Teoremă (Criteriul cleştelui). Fie \(f,g,h:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru mulţimea A şi V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(f(x)\leq g(x)\leq h(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)= l\) atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=l.\)
Dacă \(f(x)\leq g(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi dacă \(f\) şi \(g\) au limite în punctul \(x_{0}\), atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x).\)
Teoremă (Criteriul cleştelui). Fie \(f,g,h:A\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\) un punct de acumulare pentru mulţimea A şi V o vecinătate a lui \(x_{0}\).
Dacă \(f(x)\leq g(x)\leq h(x),\forall x\in V\cap A\setminus \left \{ x_{0} \right \}\) şi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)= l\) atunci \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=l.\)