Șiruri cu limita e. Numărul Euler.
143 vizualizări · 4 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
- Fie şirul \(\left ( x_{n} \right ), x_{n}> 0, \lim_{n \to \infty }x_{n}= +\infty .\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x_{n}} \right )^{x_{n}}= e.\)
- Fie şirul \(\left ( x_{n} \right ), \lim_{n \to \infty }x_{n}= 0.\) Atunci \(\lim_{n \to \infty }\left ( 1+x_{n} \right )^{\frac{1}{x_{n}}}= e.\)
- Fie şirul \(\left ( x_{n} \right ), x_{n}\neq 0, \lim_{n \to \infty }x_{n}= 0.\) Atunci:
- \(\lim_{n \to \infty }\frac{ln(1+x_{n})}{x_{n}}= 1\)
- \(\lim_{n \to \infty }\frac{a^{x_{n}}-1}{x_{n}}= lna, a> 0,a\neq 1\)
- \(\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 1+x_{n} \right )^{a}-1}{x_{n}}= a,a\in \mathbb{R}.\)
Se consideră șirul xn egal cu 1 plus 1 pe n la n.
Vom calcula câți va termenea acestui șir.
Iată, x1 este egal cu 1 plus 1, 2.
x2 este 1 plus 1 pe 2 la a2, egal cu 2,25.
x3 este 1 plus 1 pe 3 la a3,
egal cu 2,37.
x4 este 1 plus 1 supra 4 la a4,
egal cu 2,44.
Observăm că avem un șir crescător.
Șirul este de asemenea mărginit superior,
prin urmare, el va fi convergent.
Se poate demonstra acest aspect utilizând binomul lui Newton,
însă nu voi face această demonstrație,
deoarece aș vrea în continuare să ne concentrăm pe rezolvarea exercițiilor.
Cei interesați pot găsi demonstrația în cărțile de specialitate.
Limita acestui șir se notează cu E și joacă un rol foarte important în analiza matematică.
E se numește numărul lui Euler, după matematicianul Leonard Euler,
și este un număr irrațional.
Această constantă are o valoare aproximativ egală cu 2,718.
Există două consecințe importante ale acestei limite.
Prima consecință limită când N tinde la infinit din 1 plus 1 supra AN
la puterea AN este egală cu E,
unde AN este un șir care tinde la infinit.
Deci în locul lui N putem avea orice șir care tinde la infinit.
Dacă AN tinde la infinit, atunci expresia 1 supra AN va tinde la 0,
prin urmare putem avea și o limită de forma 1 plus AN
la puterea 1 supra AN egală cu E,
unde AN este un șir care tinde la 0.
În ambele situații observăm că la exponent avem inversa expresiei din paranteză.
Aceste rezultate remarcabile ne ajută să calculăm limite în cazul 1 la infinit.
Iată de exemplu la prima consecință,
dacă șirul 1 supra AN tinde la 0,
atunci expresia din paranteză va tinde la 1,
iar exponentul tinde la infinit.
Acesta este un caz de nedeterminare
pentru că acest 1 este de fapt o valoare foarte apropiată de 1.
La algebră am învățat că 1 la orice putere este 1,
însă aici vorbim de o valoare care tinde la 1.
În cele ce urmează vom rezolva două exerciții.
Primul exercițiu să calculăm limită când N tinde la infinit
din N plus 5 supra N plus 4
la puterea 2N plus 1.
Limita unei puteri se distribuie bazei și exponentului,
adică limită din XN la YN este egală cu limită din XN
la puterea limită din YN.
Limita șirului din paranteză este 1
pentru că gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului,
iar raportul coeficienților lui N este 1.
La exponent avem șirul 2N plus 1,
iar limita acestuia este infinit.
Prin urmare suntem în cazul de excepție 1 la infinit
și pentru eliminarea nedeterminării
trebuie os fi una din consecințele amintite anterior.
Pentru început, la expresia din paranteză
vom aduna forțat 1 pentru a construi șirul cu limita E,
dar apoi trebuie să-l scădem.
Deci avem limită când N tinde la infinit
din 1 plus N plus 5 supra N plus 4 minus 1
totul la puterea 2N plus 1.
În continuare vom aduce la numitor comun
ultimii doi termeni din paranteză,
dar după efectuarea calculelor obținem
limită când N tinde la infinit
din 1 plus 1 supra N plus 4 la puterea 2N plus 1.
Până aici am reușit să obținem o expresie asemănătoare
cele din formula scrisă cu roșu,
dar mai trebuie să lucrăm puțin la exponent.
Pentru a obține limita remarcabilă
la exponent trebuie să avem N plus 4.
Prin urmare vom pune forțat acest exponent
și apoi va trebui să-l eliminăm,
așa că vom scrie limită când N tinde la infinit
din 1 plus 1 supra N plus 4
la puterea N plus 4
și totul la puterea 2N plus 1
supra N plus 4.
Atunci când avem o putere ridicată la o altă putere,
exponenții se înmulțesc
și din înmulțire N plus 4 se va simplifica
și rămâne doar exponentul dat în exercițiu,
adică 2N plus 1.
Așadar, prin faptul că am scris limita în felul acesta,
nu s-a schimbat cu nimic exercițiul nostru.
Am pus forțat exponentul N plus 4
pentru a obține șirul remarcabil cu limita E.
Astfel șirul din paranteza dreaptă
va avea limita E
și obținem E la limită când N tinde la infinit
din 2N plus 1 supra N plus 4.
Șirul 2N plus 1 supra N plus 4
are limita 2,
deoarece numărătorul și numitorul au același grad
și facem raportul coeficienților lui N.
În final obținem limita egală cu E la pătrat.
Vom trece la al doilea exercițiu
Să calculăm limita când N tinde la infinit
din 1 plus N pătrat supra N la 3a plus 2N
totul la puterea 5N minus 3.
Șirul N la 2a supra N la 3a plus 2N
tinde la 0 pentru că gradul numărătorului
este mai mic decât gradul numitorului
iar expresia din paranteza
1 plus N pătrat supra N la 3a plus 2N
va tinde la 1.
Șirul de la exponent 5N minus 3
are limita infinit, prin urmare suntem din nou
în cazul de nedeterminare 1 la infinit.
Urmărim să aplicăm formula limită
din 1 plus AN la puterea
1 supra AN egală cu E.
Pentru a obține șirul cu limita E
expresia de la exponent trebuie să fie
inversa expresiei AN din paranteză.
Așadar vom pune forțat exponentul
N la 3a plus 2N supra N la 2a
și avem grijă apoi să-l și eliminăm.
Vom scrie limită când N tinde la infinit
din 1 plus N la 2a supra N la 3a plus 2N
la puterea N la 3a plus 2N
supra N pătrat
și totul la puterea N pătrat
supra N la 3a plus 2N ori 5N minus 3.
Prin înmulțirea exponenților
N pătrat s-ar simplifica
la fel și N la 3a plus 2N
și ar rămâne doar 5N minus 3
deci nu am schimbat cu nimic exercițiul dat.
În paranteza dreaptă am obținut șirul cu limita E
și avem E la limită
din N pătrat supra N la 3a plus 2N
ori 5N minus 3.
Egal cu E la limită când N tinde la infinit
din 5N la 3a minus 3N la 2a
supra N la 3a plus 2N.
La exponent avem un șir exprimat
prin câtul a două funcții polinomiale de același grad
iar limita va fi raportul coeficienților
lui N la 3a adică 5.
În consecință limita cerută va fi E la 5a.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.