Măsura de un radian corespunde unui arc de cerc având lungimea egală cu raza cercului. Se știe că măsura unui unghi cu vârful la centrul unui cerc este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturile sale. Prin urmare, un unghi va avea măsura de un radian dacă subîntinde un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului.

Observație. Măsura în radiani a unui unghi sau a unui arc de cerc nu depinde de raza cercului din care face parte.

Pentru a găsi relația dintre măsura în grade sexagesimale și radiani folosim regula de trei simplă:

$$\begin{gathered} \underline{180°.................... \mathrm{\pi } \mathrm{radiani} \\ \mathrm{n}° .................... \mathrm{x} \mathrm{radiani}} \\ x=\frac{n°\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

Așadar, pentru a transforma în radiani un unghi având măsura de n grade, folosim relația:

$\boxed{x=\frac{n°\mathrm{\pi }}{2}}.$

Analog, putem găsi formula de transformare a radianilor în grade. Pentru a transforma în grade un unghi având măsura de n radiani, folosim relația:

$\boxed{x°=\frac{n·180°}{\mathrm{\pi }}}.$

Cercul cu centrul în originea reperului cartezian și având raza R = 1 se numește cerc trigonometric sau cerc unitate. În cercul trigonometric distingem patru zone numite cadrane. Punctele situate în cele patru cadrane vor avea coordonatele pozitive sau negative, după caz. Astfel:

-un punct situat în cadranul I va avea ambele coordonate pozitive;

-un punct situat în cadranul II va avea absisa negativă și ordonata pozitivă;

-un punct situat în cadranul III va avea ambele coordonate negative;

-un punct situat în cadranul IV va avea absisa pozitivă și ordonata negativă.

Cercul cu centrul în originea reperului cartezian și având raza R = 1 se numește cerc trigonometric sau cerc unitate. În cercul trigonometric distingem patru zone numite cadrane. Considerăm sensul pozitiv cel invers deplasării acelor de ceasornic, iar sensul negativ va fi sensul de mișcare a acelor de ceasornic. Sensul pozitiv se mai numește și sens trigonometric. Ecuația cercului trigonometrice este:

$x^2+y^2=1.$

Prin urmare, cercul trigonometric este mulțimea

$C=\left\{(x,y) \overline{) x^2+y^2=1}\right\}$

Fiecărui unghi din cercul trigonometric îi corespunde un punct M(x,y) situat pe cerc. Coordonatele punctului M reprezintă valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiului respectiv. Astfel, x (abscisa) reprezintă cosinusul, iar y (ordonata) reprezintă sinusul unghiului respectiv.

Fie α un unghi, iar M(x,y) punctul corespunzător situat pe cercul trigonometric. Coordonatele punctului M reprezintă valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiului α. Astfel:

$$\begin{gathered} \cos \alpha =x \\ \sin \alpha =y. \end{gathered}$$

Considerăm funcția:

$\sin :\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, \alpha \stackrel{\sin }{\to } y$

Proprietățile funcției sinus

1. Mulțimea valorilor

$\sin :\mathrm{ℝ}\to \left[-1,1\right]$

$-1\le \sin \alpha \le 1, \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}$

2. Periodicitatea

Funcția sinus este periodică având perioada principală 2π.

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ} \\ \sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}, \forall k\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

3. Paritatea

Funcția sinus este impară, adică:

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}.$

4. Semnul funcției sinus

Funcția sinus este:

- pozitivă în cadranul I și II

- negativă în cadranul III și IV.

5. Monotonia

Fie α un unghi, iar M(x,y) punctul corespunzător situat pe cercul trigonometric. Coordonatele punctului M reprezintă valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiului α. Astfel:

$$\begin{gathered} \cos \alpha =x \\ \sin \alpha =y. \end{gathered}$$

Considerăm funcția:

$\cos :\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, \alpha \stackrel{\cos }{\to } x$

Proprietățile funcției cosinus

1. Mulțimea valorilor

$\cos :\mathrm{ℝ}\to \left[-1,1\right]$

$-1\le \cos \alpha \le 1, \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}$

2. Periodicitatea

Funcția cosinus este periodică având perioada principală 2π.

$$\begin{gathered} \cos (\alpha +2\pi )=\cos \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ} \\ \cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}, \forall k\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

3. Paritatea

Funcția cosinus este pară, adică:

$\cos (-\alpha )=\cos \alpha , \forall \alpha \in \mathrm{ℝ}.$

4. Semnul funcției cosinus

Funcția cosinus este:

- pozitivă în cadranul I și IV

- negativă în cadranul II și III.

5. Monotonia

Tangenta unui unghi α este egală cu raportul dintre sinus și cosinus. Vom defini funcția:

$tg:\mathrm{ℝ}-\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2} \overline{) k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\}\to \mathrm{ℝ}, tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Proprietățile funcției tangentă

1. Periodicitatea

Funcția tangentă este periodică având perioada principală π.

$$\begin{gathered} tg(\alpha +\pi )=tg\alpha , \alpha \ne \left(2k+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ tg(\alpha +k\pi )=tg\alpha , \alpha \ne \left(2k+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

2. Paritatea

Funcția tangentă este impară, adică:

$tg(-\alpha )=-tg\alpha , \forall \alpha \ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

3. Semnul funcției tangentă

Funcția tangentă este:

- pozitivă în cadranul I și III

- negativă în cadranul II și IV.

4. Monotonia

Funcția tangentă este strict crescătoare pe intervale de forma 

$\left(-\frac{\pi }{2}, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right).$

Cotangenta unui unghi α este egală cu raportul dintre cosinus și sinus. Vom defini funcția:

$ctg:\mathrm{ℝ}-\left\{k\pi \overline{) k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\}\to \mathrm{ℝ}, ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.$

Proprietățile funcției cotangentă

1. Periodicitatea

Funcția cotangentă este periodică având perioada principală π.

$$\begin{gathered} ctg(\alpha +\pi )=ctg\alpha , \forall \alpha \ne k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ ctg(\alpha +k\pi )=ctg\alpha , \forall \alpha \ne k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

2. Paritatea

Funcția cotangentă este impară, adică:

$ctg(-\alpha )=-ctg\alpha , \forall \alpha \ne k\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

3. Semnul funcției cotangentă

Funcția cotangentă este:

- pozitivă în cadranul I și III

- negativă în cadranul II și IV.

4. Monotonia

Funcția cotangentă este strict descrescătoare pe intervale de forma (0,π).

Formula fundamentală a trigonometriei

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1, \forall x\in \mathrm{ℝ}.$

De aici vom deduce următoarele relații:

$$\begin{gathered} \sin x=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x} \\ \cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}. \end{gathered}$$

Formule pentru unghiuri complementare

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x, \forall x\in \mathrm{ℝ} \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x, \forall x\in \mathrm{ℝ} \\ tg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=ctgx, \forall x\ne k\pi \\ ctg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=tgx, \forall x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}. \end{gathered}$$

Relații între funcții trigonometrice ale unui unghi 

$$\begin{gathered} tgx=\frac{\sin x}{\cos x} \\ ctgx=\frac{\cos x}{\sin x} \\ tgx=\frac{1}{ctgx} \\ ctgx=\frac{1}{tgx} \end{gathered}$$

Relațiile între funcțiile trigonometrice le găsim în tabelul de mai jos. Semnul din fața radicalilor se alege în funcție de cadranul în care se află unghiul x.

Formula fundamentală a trigonometriei

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1, \forall x\in \mathrm{ℝ}.$

De aici vom deduce următoarele relații:

$$\begin{gathered} \sin x=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x} \\ \cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}. \end{gathered}$$

Formule pentru unghiuri complementare

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x, \forall x\in \mathrm{ℝ} \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x, \forall x\in \mathrm{ℝ} \\ tg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=ctgx, \forall x\ne k\pi \\ ctg\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=tgx, \forall x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}. \end{gathered}$$

Relații între funcții trigonometrice ale unui unghi 

$$\begin{gathered} tgx=\frac{\sin x}{\cos x} \\ ctgx=\frac{\cos x}{\sin x} \\ tgx=\frac{1}{ctgx} \\ ctgx=\frac{1}{tgx} \end{gathered}$$

Relațiile între funcțiile trigonometrice le găsim în tabelul de mai jos. Semnul din fața radicalilor se alege în funcție de cadranul în care se află unghiul x.

Atunci când trebuie să calculăm valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din cadranele II, III, IV, pentru a ușura calculele vom folosi formule de reducere la primul cadran. La fel vom proceda și atunci când trebuie să calculăm funcții trigonometrice ale unor unghiuri cu măsuri mai mari de 360 grade (care depășesc primul cerc).  

Principalele valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile din primul cadran sunt scrise mai jos:

Trecerea din cadranul II în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \mathrm{\pi }\right)\Rightarrow \alpha =\pi -x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (\pi -x)=\sin x \\ \cos (\pi -x)=-\cos x \\ tg(\pi -x)=-tgx \\ ctg(\pi -x)=-ctgx} \end{gathered}$$

Trecerea din cadranul III în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)\Rightarrow \alpha =\pi +x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (\pi +x)=-\sin x \\ \cos (\pi +x)=-\cos x \\ tg(\pi +x)=tgx \\ ctg(\pi +x)=ctgx} \end{gathered}$$

Trecerea din cadranul IV în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)\Rightarrow \alpha =2\pi -x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (2\pi -x)=-\sin x \\ \cos (2\pi -x)=\cos x \\ tg(2\pi -x)=-tgx \\ ctg(2\pi -x)=-ctgx} \end{gathered}$$

Principalele valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile din primul cadran sunt scrise mai jos:

Trecerea din cadranul II în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \mathrm{\pi }\right)\Rightarrow \alpha =\pi -x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (\pi -x)=\sin x \\ \cos (\pi -x)=-\cos x \\ tg(\pi -x)=-tgx \\ ctg(\pi -x)=-ctgx} \end{gathered}$$

Trecerea din cadranul III în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)\Rightarrow \alpha =\pi +x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (\pi +x)=-\sin x \\ \cos (\pi +x)=-\cos x \\ tg(\pi +x)=tgx \\ ctg(\pi +x)=ctgx} \end{gathered}$$

Trecerea din cadranul IV în cadranul I:

$$\begin{gathered} Dacă \alpha \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)\Rightarrow \alpha =2\pi -x, unde x\in \left(0, \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{\sin (2\pi -x)=-\sin x \\ \cos (2\pi -x)=\cos x \\ tg(2\pi -x)=-tgx \\ ctg(2\pi -x)=-ctgx} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\ \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\ \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \\ \sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, \forall a, b\in \mathrm{ℝ}. \\ tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tgatgb}, \forall a, b, a+b\in \mathrm{ℝ}-\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\overline{)k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\} \\ tg(a-b)=\frac{tga-tgb}{1+tgatgb}, \forall a, b, a-b\in \mathrm{ℝ}-\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\overline{)k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\ \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\ \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \\ \sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, \forall a, b\in \mathrm{ℝ}. \\ tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tgatgb}, \forall a, b, a+b\in \mathrm{ℝ}-\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\overline{)k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\} \\ tg(a-b)=\frac{tga-tgb}{1+tgatgb}, \forall a, b, a-b\in \mathrm{ℝ}-\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\overline{)k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \boxed{\sin 2x=2\sin x\cos x \\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x \\ \cos 2x=1-2{\sin }^{2}x \\ \cos 2x=2{\cos }^{2}x-1 \\ tg2x=\frac{2tgx}{1-t{g}^{2}x}, \cos x\ne 0, \cos 2x\ne 0} \\ \boxed{\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x \\ \cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x} \\ \boxed{\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \\ \cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2} \\ tgx=\frac{2tg{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}, \cos \frac{x}{2}\ne 0.} \\ \boxed{{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \\ {\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \boxed{\sin 2x=2\sin x\cos x \\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x \\ \cos 2x=1-2{\sin }^{2}x \\ \cos 2x=2{\cos }^{2}x-1 \\ tg2x=\frac{2tgx}{1-t{g}^{2}x}, \cos x\ne 0, \cos 2x\ne 0} \\ \boxed{\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x \\ \cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x} \\ \boxed{\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \\ \cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2} \\ tgx=\frac{2tg{\displaystyle \frac{x}{2}}}{1-t{g}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}, \cos \frac{x}{2}\ne 0.} \\ \boxed{{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \\ {\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2} \\ \sin a-\sin b=2\sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2} \\ \cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2} \\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2} \\ tga+tgb=\frac{\sin (a+b)}{\cos a·\cos b}, \cos a\ne 0, \cos b\ne 0 \\ tga-tgb=\frac{\sin (a-b)}{\cos a·\cos b}, \cos a\ne 0, \cos b\ne 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2} \\ \sin a-\sin b=2\sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2} \\ \cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2} \\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2} \\ tga+tgb=\frac{\sin (a+b)}{\cos a·\cos b}, \cos a\ne 0, \cos b\ne 0 \\ tga-tgb=\frac{\sin (a-b)}{\cos a·\cos b}, \cos a\ne 0, \cos b\ne 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin a·\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a+b)+\sin (a-b)\right] \\ \cos a·\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right] \\ \sin a·\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]. \end{gathered}$$