Transformarea sumelor în produse (aplicații)

În acest clip voi rezolva câteva exerciții în care voi aplica formulele de transformare a sumelor în produs.

În primul exercițiu se cere să transformăm în produs cosinus de 75 de grade minus cosinus de 15 grade.

Aplicăm ultima formulă și vom avea minus 2 sinus de 75 plus 15 grade supra 2 ori sinus de 75 minus 15 grade supra 2.

Egal cu minus 2 sinus 75 plus 15 este 90 pe 2, 45 de grade, ori sinus de 75 minus 15, 60 pe 2, 30.

Egal cu minus 2 ori radical din 2 pe 2, ori 1 pe 2 și egal cu minus radical din 2 pe 2.

Următorul exercițiu se cere să transformăm în produs sinus de pi supra 8 plus sinus de 5 pi supra 8.

Aplicăm prima formulă și avem 2 sinus de pi supra 8 plus 5 pi supra 8 totul pe 2 ori cosinus de pi supra 8 minus 5 pi supra 8 totul supra 2.

Egal cu 2 sinus, aici obținem 6 pi pe 8 se simplifică și ne dă 3 pi pe 4 totul supra 2 adică 3 pi pe 8 ori cosinus.

Pi pe 8 minus 5 pi pe 8 este minus 4 pi pe 8 se simplifică și ne dă minus pi supra 2 totul supra 2 este minus pi pe 4.

Egal, funcția cosinus este o funcție pară, deci cosinus de minus pi supra 4 este egal cu cosinus de pi pe 4.

Avem așadar 2 sinus de 3 pi pe 8 ori cosinus de pi supra 4.

Cosinus de pi pe 4 este radical din 2 pe 2, iar sinus de 3 pi supra 8 rămâne așa.

Iar rezultatul final va fi radical din 2 ori sinus de 3 pi supra 8.

Următorul exercițiu.

Avem următoarea fracție.

Cosinus de 20 grade plus sinus de 20 grade supra cosinus de 20 minus sinus de 20.

Se cere să simplificăm această fracție.

Observăm că nu avem o formulă pentru suma dintre sinus și cosinus.

Din acest motiv ne propunem să exprimăm cosinus de 20 în funcție de sinus.

Vă reamintesc formula unghiurilor complementare.

Cosinus de x este egal cu sinus de pi pe 2 minus x.

Prin urmare, cosinus de 20 grade va fi egal cu sinus de 90 grade minus 20.

Cosinus de 20 grade este egal cu sinus de 70.

Revenim la exercițiu.

În loc de cosinus de 20, voi scrie sinus de 70.

Avem sinus de 70 grade plus sinus de 20 supra sinus de 70 minus sinus de 20.

Egal.

La numărător aplicăm formula sinus de A plus sinus de B.

Și avem 2 ori sinus de A plus B pe 2, adică 70 plus 20, 90 supra 2, 45.

Ori cosinus de 70 minus 20, 50 pe 2, 25 supra.

Sin de A minus sin de B este 2 sinus de A minus B pe 2.

Deci avem 2 ori sinus de 70 minus 20 pe 2, 25.

Ori cosinus de 70 plus 20 pe 2, 45.

Egal.

Sinus de 45 este radical din 2 supra 2.

Ori cosinus de 25 supra 2 ori.

Cos de 45 este radical din 2 pe 2.

Ori sinus de 25.

Egal.

Se simplifică 2 și radical din 2 pe 2.

Și ne rămâne cosinus de 25 supra sinus de 25.

Deci cotangentă de 25 de grade.

Și ultimul exercițiu.

Se cere să simplificăm următoarea expresie.

Sinus de 5 alfa minus sinus de 3 alfa,

supra cosinus de 5 alfa plus cosinus de 3 alfa.

La numărător aplicăm formula sinus de A minus sinus de B

și obținem 2 sinus de 5 alfa minus 3 alfa pe 2,

ori cosinus de 5 alfa plus 3 alfa pe 2.

Aplicăm formula cos de A plus cos de B

și vom avea 2 cosinus de 5 alfa plus 3 alfa pe 2

ori cosinus de 5 alfa minus 3 alfa pe 2.

Egal.

Cu 2, sinus de 2 alfa pe 2, adică alfa,

ori cosinus de 8 alfa pe 2, adică 4 alfa,

supra 2 cosinus de 8 alfa pe 2, 4 alfa,

ori cosinus de 2 alfa pe 2, alfa.

Egal.

Se simplifică 2 și cos de 4 alfa

și ne rămâne sinus de alfa supra cosinus de alfa,

adică tangentă de alfa.