Transformarea sumelor în produse

Pentru a aduce unele expresii la o formă mai simplă, trebuie să transformăm sumele de funcții trigonometrice în produse.

În acest clip ne propunem să găsim formulele pentru sinus de A plus sinus de B, sinus de A minus sinus de B, cosinus de A plus cosinus de B, respectiv cosinus de A minus cosinus de B.

Pentru aceasta vom porni de la aceste două formule, sinusul sumei, respectiv sinusul diferenței.

Vom face următoarea substituție.

O să notez x plus y cu A și x minus y cu B.

Adunând aceste două relații, obținem 2x egal cu A plus B, de unde x este egal cu A plus B supra 2,

iar scăzând cele două relații, obținem 2y egal cu A minus B, iar y este egal cu A minus B pe 2.

Revenim la aceste două formule și adunând relațiile 1 și 2 vom obține sinus de A plus sinus de B egal,

sin de x cos de y plus sin de x cos de y este 2 sin de x cos de y,

în loc de x avem A plus B pe 2, iar în loc de y voi scrie A minus B pe 2.

Acest termen cos de x, sinus de y se reduce.

Am găsit așadar prima formulă de transformare a sumei într-un produs.

Dacă scădem relațiile 1 și 2, obținem sinus de A minus sinus de B egal,

de data aceasta se va reduce termenul sin de x cos de y și vom avea 2 cos de x sinus de y.

Voi scrie mai întâi sinusul și avem 2 sinus de y, unde y este A minus B pe 2,

ori cosinus de x, iar x este A plus B pe 2.

În continuare ne propunem să găsim formulele pentru cosinus.

Pornim de la formula pentru cosinul sumei, respectiv cosinul diferenței.

Adunând relațiile 1 și 2, vom avea cosinus de A plus cosinus de B egal.

Termenul cu sin de x, sin de y se reduce și obținem 2 cos de x, cos de y,

unde x este A plus B supra 2, iar y este A minus B supra 2.

Scăzând relațiile 1 și 2, avem cos de A minus cos de B egal.

Se reduce termenul cos de x, cos de y și vom avea minus 2 sinus de x, sinus de y,

unde x este A plus B pe 2, iar y este A minus B supra 2.

Am demonstrat așadar alte două formule de transformare a sumelor în produse

și mai trebuie să găsim și formulele pentru tangentă.

Ne propunem să găsim formula pentru tangentă de A plus tangentă de B.

Mai exact, dorim să transformăm această sumă într-un produs.

Știm că tangentea este raportul dintre sinus și cosinus,

deci tangentă de A este sinus de A supra cosinus de A,

iar tangentă de B este sinus de B supra cosinus de B.

Aducem la numitor comun și obținem sinus de A cosinus de B plus cos de A sinus de B

totul supra cosinus de A ori cosinus de B.

Dar sin de A cos de B plus cos de A sinus de B este sinus de A plus B supra cos de A cos de B.

Să reținem așadar formula tangentă de A plus tangentă de B egal cu sinus de A plus B supra cosinus de A cosinus de B.

În mod asemănător, se demonstrează formula tangentă de A minus tangentă de B egal cu sinus de A minus B supra cosinus de A cosinus de B.

Aceste rapoarte există dacă numerele cosinus de A și cosinus de B sunt diferite de 0.